Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Численные методы математической физики
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические и компьютерные методы решения задач естествознания
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к базовой части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу, линейной алгебре, дифференциальным уравнениям, уравнениям в частных производных и численным методам в объеме, соответствующем программе первых трех лет обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-1.Б. Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики.
•	ПК-2.Б. Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат.
•	ПК-3.Б. Способность в составе производственного коллектива участвовать в разработке и реализации в современных программных комплексах актуальных алгоритмов компьютерной математики.

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать: 
1. основные вычислительные методы линейной алгебры, 
2. численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики с частными производными.

Уметь:
1. применять на практике и проводить сравнительный анализ рассмотренных численных алгоритмов.

Владеть:
1. навыками по решению прикладных научных и практических задач.

4. Формат обучения: лекции проводятся с использованием меловой доски в потоковых аудиториях.

 5. Объем дисциплины (модуля) составляет 3 з.е., в том числе 54 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 54 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося, часы	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.	Метод конечных элементов	16	10	0	10	6	
2.	Принцип максимума для разностных схем	16	10	0	10	6	
3.	Методы решения сеточных уравнений	28	16	0	16	12	
4.	Теория устойчивости разностных схем	17	10	0	10	7	
5.	Разностные схемы для нелинейных задач математической физики	13	8	0	8	5	
6.	Аттестация: устный экзамен	18				18	
Итого	108	54	0	54	72	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Вопросы к экзамену.

1. Кусочно-линейное восполнение сеточных функций.
2. Построение схемы МКЭ для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
3. Существование и единственность приближенного решения МКЭ.
4. Свойства приближенного решения, исследование сходимости МКЭ.
5. МКЭ для уравнения Пуассона.
6. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона.
7. Принцип максимума. Существование и единственность решения разностной задачи.
8. Принцип максимума. Оценка решений однородного и неоднородного уравнений.
9. Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле.
10. Применение принципа максимума к нестационарным разностным задачам.
11. Монотонные разностные схемы.
12. Модельная задача.
13. Оценки скорости сходимости стационарных итерационных методов.
14. Применение методов Якоби и Зейделя к решению сеточных уравнений.
15. Алгебраическая теория попеременно треугольного итерационного метода.
16. Применение попеременно треугольного метода к модельной задаче.
17. Попеременно-треугольный метод с чебышевскими итерационными параметрами.
18. Одношаговые итерационные методы вариационного типа.
19. Примеры одношаговых итерационных методов вариационного типа.
20. Двухшаговые итерационные методы вариационного типа. Примеры методов.
21. Решение разностного уравнения Пуассона методом Фурье.
22. Метод матричной прогонки.
23. Разностные схемы как операторные уравнения.
24. Канонический вид и определения устойчивости двуслойных разностных схем.
25. Теорема об устойчивости по начальным данным двуслойных разностных схем.
26. Устойчивость несамосопряженных двуслойных разностных схем.
27. Канонический вид и условия устойчивости трехслойных разностных схем.
28. Продольно-поперечная схема для уравнения теплопроводности.
29. Квазилинейное уравнение теплопроводности.
30. Разностные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.
31. Разностные схемы для квазилинейного уравнения теплопроводности.
32. Разностная схема для слабо нелинейного эллиптического уравнения.
33. Итерационный метод решения нелинейной разностной схемы.

Экзаменационный билет состоит из одного вопроса и задачи, например

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова
факультет ВМК	
Наименование дисциплины
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
1. Существование и единственность приближенного решения МКЭ
2. Привести схему к каноническому виду, выяснить порядок аппроксимации и исследовать устойчивость по начальным данным.

	Зав. кафедрой	

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) 
по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Экзамен	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Экзамен 	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Экзамен 	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)
	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач
	
Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать основные методы численного решения задач линейной алгебры, краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики с частными производными.
Уметь выбирать оптимальные численные методы для решения прикладных задач и при необходимости адаптировать их для решения конкретной задачи. 
Владеть навыками применения численных методов для решения изученных классов прикладных задач.	

ОПК-1.Б	
Знать теоретические методы и подходы к исследованию разностных методов решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, прямые и итерационные методы решения разностных задач, возникающих при построении разностных схем для различных типов уравнений.
Уметь строить разностные схемы требуемого порядка точности для краевых задач, исследовать их устойчивость и сходимость, выбирать оптимальные численные методы для решения возникающих систем алгебраических уравнений.
Владеть навыками применения изученных теорем для исследования разностных схем решения краевых задач и анализа эффективности численных методов решения разностных уравнений.	
ПК-2.Б	
Владеть теоретическими и практическими навыками применения актуальных численных методов решения задач математической физики и их реализации в виде компьютерных программ.	
ПК-3.Б	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:

1.	Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. − М.: Научн. мир, 2000..
2.	Абакумов М.В., Гулин А.В. Лекции по численным методам математической физики. − М.: ИНФРА-М, 2013.

Дополнительная литература:

1.	Андреев В.Б. Лекции по методу конечных элементов. − М.: МАКС-Пресс, 2010.
2.	Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. − М.: Наука, 1989.
3.	Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. − М.: Наука, 1978.
4.	Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем.  − М:УРСС, 2-е изд.,2004.
5.	Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.  − М.:Наука,1989.
6.	Андреев В.Б., Руховец Л.А. Проекционные методы.  − М.:Знание,1986.

Материально-техническкое обеспечение:  аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания − русский.

10. Преподаватели:  доцент факультета ВМК МГУ М.В.Абакумов

11. Авторы программы:  доцент факультета ВМК МГУ М.В.Абакумов