Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Математические модели в экономике
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические методы обработки информации и принятия решений
Форма обучения:
очная

Москва 2023
Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к базовой части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по курсам «Математический анализ I—IV», «Алгебра и геометрия» в объеме, соответствующем программе первого - второго годов обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики
•	ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности 
•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1.	основные понятия, определения и факты, используемые при построении математических моделей в экономике;
Уметь: 
1.	корректно описывать математическую модель экономического процесса, ставить для нее задачу, 
2.	подбирать и применять адекватные математические методы для решения задачи; 
Владеть:
1.	навыками решения прикладных математических задач, относящихся к экономике.

4. Формат обучения: лекции проводятся с использованием меловой доски.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 2 з.е., в том числе 36 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 36 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.	Игры в нормальной форме. Понятия оптимальности по Парето, равновесия по Нэшу и Штакельбергу. Теорема Нэша. Модель олигополистической конкуренции Курно.	6	2	0	2	4	
2.	Концепция конкурентного равновесия. Модель Эрроу-Дебре. Теорема Эрроу-Дебре.	6	4	0	4	2	
3.	Модели межотраслевого баланса. Продуктивные матрицы, критерии продуктивности, теорема о резольвенты в ряд Неймана. Экономическая интерпретация двойственности: трудовая теория стоимости и ее критика. Экономическая интерпретация принципа максимума в моделях экономического роста.	10	4	0	4	6	
4.	Модель Хаутеккера-Иохансена. Обобщенная лемма Неймана-Пирсона и ее экономическая интерпретация. Двойственность производственных функций и функций прибыли. Модели нелинейного межотраслевого баланса и их использование для качественного анализа эволюции экономических механизмов управления советской и российской производственной системой.	2	2	0	2	0	
5.	Неподвижные точки. Теоремы Брауэра и Какутани. Лемма Гейла - Никайдо - Дебре. Теорема Фань-Цзы. Вариационные неравенства. Теоремы существования решения вариационных неравенств. Двойственность для вариационных неравенств. Вариационные неравенства в модели Эрроу-Дебре.	2	2	0	2	0	
6.	Оптимальность по Парето конкурентного равновесия (первая теорема теории благосостояния). Теорема Дебре (вторая теорема теории благосостояния).	4	4	0	4	0	
7.	Текущий контроль успеваемости: контрольная работа	2	2	0	2	0	
8.	Модель чистого обмена. Ящики Эджворта и Баласко.	2	2	0	2	0	
9.	Сравнительная статика в моделях конкурентного равновесия. Налоговый парадокс Эджворта. Модель равновесия с фиксированными доходами. Бюджетный парадокс.	6	2	0	2	4	
10.	Модель Рамсея. Теорема о магистрали. Модель рамсеевского типа с неоднородными потребителями.	10	4	0	4	6	
11.	Теория равновесия в экономиках с бесконечным временным горизонтом. Компенсированное равновесие. Теорема Бьюли. Топологические векторные пространства. Пространства Рисса. Топологии в сопряженном пространстве. Топология Макки. Теорема Макки-Аренса. Второе сопряженное. Рефлексивные пространства. Пространство ba. Вполне конечно-аддитивные функционалы. Банахов предел. Теорема Иосиды-Хьюитта. Модели с перекрывающимися поколениями. Существование равновесия: теорема Данилова.	4	2	0	2	2	
12.	Проблемы коллективного выбора. Парадокс Эрроу. Теорема Гибборда-Сэттертуайта. 	4	2	0	2	2	
13.	Индексы неравенства и кривая Лоренца. Теорема мажоризации. Стохастическое доминирование. 	4	2	0	2	2	
14.	Равновесный рост и распределение в модели рамсеевского типа с эндогенными коэффициентами дисконтирования.	4	2	0	2	2	
Аттестация: зачет	6	0	0	0	6	
Итого	72	36	0	36	36	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Для текущего контроля знаний в течение семестра проводится контрольная работа. Результаты написания студентами контрольной работы могут влиять на сложность заданий, получаемых ими впоследствии на зачете.

Типовое задание на контрольной работе:
1.	Пусть формула
и формула непрерывное отображение. Можно ли утверждать, у отображения формула есть неподвижные точки? 
2.	Рассмотрим модель чистого обмена формула с видами товаров и формула потребителями. Обозначим через формула начальный запас  формула- го товара у  формула-го  потребителя. Пусть функция полезности формула-го  потребителя формула имеет вид
       формула,
       где формула.
       При каких условиях существует конкурентное равновесие? Какому
       уравнению   удовлетворяют равновесные цены? 
3.	Чему равна цена в модели Курно с двумя производителями, имеющими 
     одинаковые функции издержек производства объект,
           и потребителем с обратными функциями спроса объект.
4.	Из теоремы Фань-Цзы вывести лемму Гейла-Никайдо-Дебре.
5.	Найти равновесия по Нэшу и оптимальные по Парето исходы в биматричной игре двух лиц
                 а) объект                             б) объект 
                 в) объект                             г) объект
                 д) объект                             е) объект

6.	Пусть Г – выпуклый компакт в объект, в каждой точке которого задан вектор объект, причем объект непрерывно зависит от объект. Доказать, что существует объект такой, что для любого объект справедливо неравенство объект.

7.	Найти равновесие по Нэшу и оптимальные по Парето исходы в антагонистической игре двух лиц 
а) объект  б) объект  в) объект г) объект 
д) объект е) объект

 8.	Дать определение полунепрерывности снизу по Гейне для многозначного отображения.
 9.	Пусть А положительно определенная, симметричная матрица. Что больше произведение ее диагональных элементов или определитель?

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.
Список теоретических вопросов, выносимых на зачет:
 I.	Модели межотраслевого баланса и теория неотрицательных матриц. 
1.	Модель межотраслевого баланса В. В. Леонтьева. Продуктивные матрицы. Критерии продуктивности. 
2.	Неотрицательная обратимость матрицы (xE-A) и её связь с продуктивностью. Теорема о разложении резольвенты. 
3.	Теорема Фробениуса-Перрона. Оценка темпов сбалансированного экономического роста. Свойства числа Фробениуса-Перрона. 
4.	Неразложимые матрицы. Свойства числа Фробениуса-Перрона неразложимой матрицы. 
5.	Теорема об устойчивости примитивных матриц. 
 II.	Теория двойственности и её экономическая интерпретация. 
1.	Теорема двойственности для задач линейного программирования со смешанными ограничениями. Условия дополняющей нежесткости в задачах линейного программирования (необходимые и достаточные условия оптимальности). Теорема Куна-Таккера для задач линейного программирования. 
2.	Экономическая интерпретация двойственности. Трудовая теория стоимости и её критика. 
3.	Декомпозиция в задаче об оптимальном распределении ресурса между регионами. 
4.	Экономическая интерпретация принципа максимума для линейной динамической модели оптимального экономического роста. 
5.	Оценка эффективности новых технологий. 
6.	Теорема Моришимы о магистрали. Экономическая интерпретация вектора Фробениуса-Перрона. 
 III.	Теория экономического равновесия. 
1.	Игры в нормальной форме. Понятия оптимальности по Парето, равновесия по Нэшу и Штакельбергу. Примеры. 
2.	Теорема Нэша. 
3.	Модели олигополистической конкуренции. 
4.	Теорема Брауэра. 
5.	Точечно-множественные отображения и их свойства (замкнутость, полунепрерывность сверху и снизу). 
6.	Теорема Какутани. Лемма Гейла-Никайдо-Дебре. 
7.	Модель Эрроу-Дебре. Теорема о существовании конкурентного равновесия. 
8.	Свойства конкурентного равновесия. Конкурентное равновесие и ядро экономики.

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
1.	основные факты о современных математических моделях в экономике;
Уметь:  
1.	грамотно применять основные методы математического анализа, функционального анализа, методы линейной алгебры для решения задач предметной области;	

ОПК-1.Б	
Знать:
1.	основные алгоритмы решения типовых математических задач экономики;
Уметь:  
1.	применять методы теории устойчивости для решения прикладных задач;	

ОПК-2.Б	
Владеть: 
1.	методами математического моделирования в экономике при решении прикладных задач;
	
ПК-2.Б	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:
 1.	Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. - М.,Наука,1984. 
 2.	Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. - М., Мир, 1972. 

Дополнительная литература:
 1.	Обен Ж-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. - М., Мир, 1988. 
 2.	Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. - М., Мир, 1985. 
 3.	Экланд И. Элементы математической экономики. - М., Мир, 1983. 

Материально-техническое обеспечение: аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания - русский.

10. Преподаватели:	профессор факультета ВМК МГУ А.А. Шананин
			ассистент факультета ВМК МГУ А.В. Рудева
			доцент факультета ВМК МГУ Н.К. Обросова

11. Авторы программы:  профессор факультета ВМК МГУ А.А. Шананин