Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Прикладная алгебра. Часть 1
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические методы обработки информации и принятия решений
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299) 

1. Дисциплина относится к вариативной части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по линейной алгебре в объеме, соответствующем программе первого года обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1. теории конечных групп, евклидовых колец, конечных полей, кодов Боуза-Чоудхури-Хоквингема

Уметь:  
1. применять методы абстрактной алгебры в современных прикладных задачах

Владеть:  
1. навыками решения задач алгебры и теории кодирования

4. Формат обучения: лекции и семинарские занятия проводятся с использованием меловой доски.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 4 з.е., в том числе 72 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 72 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.

Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.	Группы (повторение), конечные группы
Алгебраические операции. Группа. Конечные группы малых порядков. Симметрические группы. Циклические группы. Подгруппы. Перестановки. Теорема Кэли. Смежные классы. Отношение эквивалентности в группе (через принадлежность смежным классам). Теорема Лагранжа, ее следствия и невозможность обращения. Нормальные делители. Факторгруппы. Критерий нормальности делителя через сопряженные элементы. Гомоморфизм, эпиморфизм, мономорфизм, группа автоморфизмов. Ядро и образ гомоморфизма. Естественный (канонический) гомоморфизм. Свойства гомоморфизмов групп. Теорема о гомоморфизмах групп.	24	4	8	12	8	
2.	Кольца, евклидовы кольца, кольца многочленов
Кольца. Кольцо классов вычетов. Свойства сравнений. Корректность операций в кольце классов вычетов. Теорема о гомоморфизмах колец. Идеалы. Кольца главных идеалов. Максимальные идеалы. Необходимое и достаточное условие для кольца классов вычетов быть полем. Евклидовы кольца. Разложение элементов в евклидовых кольцах. Кольцо многочленов над полем (напоминание о нулях многочленов, теореме Безу). Неприводимые (простые) многочлены.	24	8	8	16	8	
3.	Конечные поля
Поле. Характеристика поля. Число элементов в конечном поле характеристики p. Существование полей порядка pm для всех простых p и целых положительных m. Существование в конечном поле примитивного элемента (с доказательством вспомогательной леммы). Уравнение, которому удовлетворяют все элементы конечного поля. Минимальный многочлен (минимальная функция) элемента поля. Минимальный многочлен элемента {x} в F[x]/(g(x)). Теорема о разложении многочлена Xp^m-X на множители (со всеми вспомогательными леммами). Корни уравнения f(x)=a0+…+anxn=0 с неприводимым многочленом f(x) в GF(pm), nm.	30	12	8	20	8	
4.	Теория кодирования, коды БЧХ
Кодирование. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ). Оценка расстояния между кодовыми вершинами БЧХ. Теорема о линейной независимости в проверочной матрице. Структура идеалов в F[x]/(g(x)). Циклические линейные подпространства кольца классов вычетов. Матрица Адамара. Примеры кодов Хэмминга и Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ).	24	12	6	18	6	
Промежуточная аттестация: контрольные работы, проверочные тесты	6	0	6	6	6	
Итоговая  аттестация: устный экзамен	36	0	0	0	36	
Итого	144	36	36	72	72	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Экзаменационные вопросы. Список теоретических вопросов:

9.1.Алгебраические операции. Группа. Конечные группы малых порядков. Циклические группы. Подгруппы.
9.2 Симметрические группы. Перестановки. Теорема Кэли.
9.3. Смежные классы. Отношение эквивалентности в группе (через принадлежность смежным классам). Теорема Лагранжа, ее следствия и невозможность обращения. Нормальные делители. Факторгруппы. Критерий нормальности делителя через сопряженные элементы.
9.4. Гомоморфизм, эпиморфизм, мономорфизм, группа автоморфизмов. Ядро и образ гомоморфизма. Естественный (канонический) гомоморфизм. Свойства гомоморфизмов групп. Теорема о гомоморфизмах групп.
9.5. Кольцо, тело, поле (определения, примеры, терминология). Теорема о гомоморфизмах колец.
9.6. Кольцо классов вычетов. Свойства сравнений. Корректность операций в кольце классов вычетов.
9.7. Идеалы. Кольца главных идеалов. Максимальные идеалы. Необходимое и достаточное условие для кольца классов вычетов быть полем.
9.8. Евклидовы кольца. Разложение элементов в евклидовых кольцах.
9.9. Кольцо многочленов над полем. Неприводимые (простые) многочлены (с примерами).
9.10. Характеристика поля. Число элементов в конечном поле характеристики p.
9.11. Существование полей порядка pm для всех простых p и целых положительных m.
9.12. Существование в конечном поле примитивного элемента (с доказательством вспомогательной леммы).
9.13. Уравнение, которому удовлетворяют все элементы конечного поля. Теорема о разложении многочлена Xp^m-X на множители (со всеми вспомогательными леммами).
9.14. Минимальный многочлен (минимальная функция) элемента поля. Минимальный многочлен элемента {x} в F[x]/(g(x)).
9.15. Корни уравнения f(x)=a0+…+anxn=0 с неприводимым многочленом f(x) в GF(pm), nm.
9.16. Кодирование, примеры кодов. Матрица Адамара.
9.17. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ), примеры. Оценка расстояния между кодовыми вершинами БЧХ. Теорема о линейной независимости в проверочной матрице.
9.18. Структура идеалов в F[x]/(g(x)). Циклические линейные подпространства кольца классов вычетов.

Пример экзаменационного билета
Теоретический вопрос:

Минимальный многочлен (минимальная функция) элемента поля. Минимальный многочлен элемента {x} в F[x]/(g(x)).

Дополнительные теоретически вопросы:
Дать определение евклидова кольца.
Дать определение поля, характеристики поля.
Дать определение идеала кольца.
Сформулировать теорему Кэли.
Сформулировать теорему об оценке расстояния между кодовыми вершинами БЧХ.

Задачи:

Найти {X2+ X}–1 в GF(2)[X]/(X3+X2+1).
Образуют ли кольцо симметричные матрицы относительно стандартных операция умножения и сложения (ответ обосновать)?
Сколько подгрупп у группы Z15?
Построить простейший код БЧХ (с указанием, сколько ошибок он исправляет).	

Образец домашнего задания
1. Сколько элементов порядка 7 в S8?
2. Выписать все подгруппы группы Z10.
3. В каком случае все смежные классы по подгруппе H группы G являются подгруппами G?
4. Найти все классы сопряженных элементов в S4.
5. Может ли фактор-группа G/H быть абелевой, если группа G некоммутативна (H – собственная нормальная подгруппа G)?
6. Найти (12)(123)(1234)…(12…l), т.е. разложить на произведение независимых циклов (здесь умножение выполняется слева направо).
7. Сколько в Z15 элементов x таких, что <x>= Z15?
8. Может ли произведение двух элементов бесконечного порядка иметь конечный порядок?
9. Могут ли элементы ab и ba иметь разные порядки?	

Образец письменного теста
Вопрос	Правильный ответ	
Какой наименьший порядок может быть у некоммутативной группы?	6	
Привести пример поля, в котором ровно 4 элемента.	GF(2)[X]/(X2+X+1)	
Дать определения кольца главных идеалов.	КГИ – кольцо, в котором все идеалы главные, т.е. имеют вид (X).	
Перечислить все идеалы поля.	(0), (1)=F	
Выписать все неприводимые многочлены над GF(2) степени 2.	X2+X+1	

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Экзамен	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Контрольная работа, проверочный тест 	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Экзамен	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
теории конечных групп, евклидовых колец, конечных полей, кодов Боуза-Чоудхури-Хоквингема
Уметь:
применять методы абстрактной алгебры в современных прикладных задачах
Владеть:
навыками решения задач алгебры и теории кодирования

ПК-2.Б	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:
•	Журавлёв Ю.И., Флёров Ю.А., Вялый М.Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. – М. МЗ Пресс, 2006. – 208 с.
•	Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра.   М.: Мир, 1976.
•	Касами Т., Токура Н., Ивадари Ё., Инагаки Я. Теория кодирования.   М.: Мир, 1978. – 576 с.
•	Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки.   М.: Мир, 1976.

Дополнительная литература:
•	Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. Часть II. Линейная алгебра. Часть III. Основные структуры алгебры: Учебник для вузов (в 3-х томах).   М.: Физико-математическая литература, 2000.
•	Сборник задач по алгебре: Учебное пособие / Под. ред. А.И. Кострикина.   М.: Факториал, 1995.
•	Ван дер Варедн Б.Л. Алгебра.   М.: Наука, 1976.
•	Питерсон У. Коды, исправляющие ошибки.   М.: Мир, 1964.
•	Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования.   М.: Мир, 1971.
•	Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Изд. «Факториал»,   1999.

Материально-техническое обеспечение: аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания:	русский.

10. Преподаватели:  		профессор факультета ВМК МГУ А.Г. Дьяконов

11. Авторы программы:  	профессор факультета ВМК МГУ А.Г. Дьяконов, профессор факультета ВМК МГУ Ю.И. Журавлёв