Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Дополнительные главы случайных процессов
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические методы обработки информации и принятия решений
Форма обучения:
очная

Москва 2023
Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к базовой части ОПОП ВО .

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу, функциональному анализу, теории меры, теории вероятностей и линейной алгебре в объеме, соответствующем программе первых трех лет обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки» .

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики
•	ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности 
•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1.		основные классы  процессов;
2.		основы теории мартингалов;
3.		основы  стохастического интегрирования;
4.		основы стохастического анализа;
5.		основы теории стохастических дифференциальных уравнений;

Уметь:
1.		применять на практике общую теории случайных процессов к решению конкретных задач;
2.		Определять к какому классу относится случайных процесс по его основным свойствам;
3.		применять основные методы теории мартингалов для решения типичных задач прикладного характера;
4.		применять теоретические утверждения теории мартингалов для исследования других случайных процессов;
5.		применять теоретические утверждения теории стохастических утверждений, например, формулу Ито к вычислению конкретных стохастических интегралов;
6.		Формулировать основные типы стохастических дифференциальных уравнений.
7.	Формулировать прикладные задачи в терминах случайных процессов.

Владеть:  
1.		навыками анализа основных типов случайных процессов;
2.		основными методам мартингалов для исследования других случайных процессов;
3.		навыками стохастического интегрирования предсказуемых случайных процессов;

4. Формат обучения: лекции и семинарские занятия проводятся с использованием меловой доски.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 7 з.е., в том числе 124 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 128 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.

Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа  (работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 	
		Лекции	Семинары	Всего		
1. Математические основы теории случайных процессов.. Понятие случайного процесса. Теорема существования случайного процесса с данными конечно-мерными распределениями. Основные свойства случайных процессов.  Непрерывные случайные процессы. Процессы без разрывов второго рода. Сепарабельные случайные процессы. 	24	8	8	16	8	
2. Понятия  фильтрации и марковского момента. Предсказуемые мартовские моменты. Прогрессивно измеримые случайные процессы, измеримые случайные процессы. Предсказуемые случайные процессы. Равномерно интегрируемые случайные процессы.	24	8	8	16	8	
3. Процессы с независимыми приращениями. Пуассоновский случайный процесс. Процесс броуновского движения.	24	8	8	16	8	
4.	Понятие мартингала и его основные свойства. Остановленные субмартингалы. Неравенства для субмартингалов.  Тождества Валька.  Сходимость субмартингалов.  Замкнутые мартингалы. Процессы интегрируемой вариации.  Субмартингалы из классов Дуба. Квадратично интегрируемые мартингалы. Квадратические вариации мартингалов. Локальные мартингалы. 	34	10	10	20	14	
5.	Стохастичекий интеграл простого случайного процесса и его свойства. Теорема об аппроксимация  предсказуемых случайных процессов с помощью простых случайных процессов. Понятие интеграла от предсказуемых случайных процессов по квадратично интегрируемому мартингалу. Стохастический интеграл по локальному мартингалу. 	34	10	10	20	14	
6. Формула Ито и ее применения. Характеризация пуассоновского процесса в классе мартингалов. Характеризация процесса броуновского движения в классе квадратичноинтегрируемых непрерывных мартингалов. Понятие стохастического дифференциального уравнения. Теорема существования. Интегралы Ито. Уравнение диффузии. Уравнение Ланжевена.		34	10	10	20	14	
 7. Понятие стохастического дифференциального уравнения. Теорема существования. Интегралы Ито. Уравнение диффузии. Уравнение Ланжевена).	24	8	8	16	8	
Промежуточная аттестация: экзамен	18				18	
Аттестация: экзамен	36				36	
Итого	252	62	62	124	128	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Выступление  у доски	
Вариант 1	Вариант 2	

Доказать теорему первое утверждение из теоремы Серпинского о том, что  класс множеств является сигма-алгеброй, если он является  Пи-классом и Лямбда-классом.	
Доказать, что сходящийся в среднем квадратичном мартингал, равномерно интегрируем.	

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

Вопросы к экзамену по первой части курса (осенний семестр).

1.	Теорема Серпинского.
2.	Измеримое пространство, прямое произведение измеримых пространств, цилиндрические множества.
3.	Понятие случайного процесса. Теорема Колмогорова о существовании случайного процесса с данными конечно-мерными распределениями.
4.	Эквивалентные, неотличимые, рднаково распределенные, непрерывные случайные процессы.
5.	Стохастически непрерывные случайные процессы.
6.	Теорема существования сепарабельных случайных процессов.
7.	Свойства вещественных сепарабельных случайных процессов.
8.	Достаточные условия непрерывности случайных процессов.
9.	Теорема Колмогорова о непрерывных случайных процессах. 
10.	Функции без разрыва второго рода.
11.	Случайные процессы без разрывов второго рода. 
12.	Фильтрации и их свойства, естественные фильтрации случайных процессов. 
13.	Мартовские моменты. 
14.	Сигма-алгебры, связанные с мартовскими моментами.
15.	Измеримость мартовских моментов и другие свойства.
16.	Предсказуемые мартовские моменты.
17.	Измеримые случайные процессы.
18.	Прогрессивно измеримые случайные процессы.
19.	Значение  марковского момента в Марковский момент, стохастические отрезки.
20.	Предсказуемые случайные процессы.
21.	Связь между мартовскими моментами и сигма-алгеброй предсказуемых множеств.
22.	Свойства предсказуемых случайных процессов.
23.	Момент первого попадания.
24.	 Равномерно интегрируемые случайные процессы.
25.	 Критерий сходимости в среднем.
26.	Критерий Данфорда-Петисса и его применение.
27.	Случайные процессы с независимыми приращениями.
28.	Неравенства для сумм независимых случайных величин. 
29.	 Свойства случайных процессов с независимыми приращениями.
30.	Пуассоновский процесс, теорема существования.
31.	Конечно-мерные распределения пуассоновского процесса.
32.	Стандартный пуассоновский процесс.
33.	Другая модель пуассоновского процесса.
34.	Процесс броуновского движения, теорема существования.
35.	 Конечно-мерные распределения процесса броуновского движения. 
36.	Принцип отражения.
37.	 Траектории процесса броуновского движения.
38.	Закон повторного логарифма.  
	
Список экзаменационных вопросов к второй части курса (весенний семестр)

1. Понятие мартингала, суб/супер мартингала. Эквивалентные определения, примеры.
2  Правила построения субмартингалов из числа имеющихся.
3. Разложение Дуба.
4. Равномерная интегрируемость субмартингала.
5. Обобщенное субмартингальное свойство.
6. Остановленные субмартингала.
7. Максимальные неравенства.
8. Максимальные неравенства для моментов.
9. Тождества Валька.
10. Неравенство Дуба для числа пересечений.
11. Траектории субмартингалов.
12. Сходимость субмартингалов при возрастании параметра.
13. Сходимость субмартингалов при убывании параметра.
14. Замкнутые субмартингалы.
15. Процессы интегрируемой вариации. Свойства интегралов.
16. Интегрирование мартингалов.  
17. Свойства предсказуемых процессов.
18. Субмартингалы из классов Дуба.
19. Мартингалы, интегрируемые в квадрате.
20. Квадратические вариации мартингалов.
21. Неравенство Куницы-Ватанабэ.
22. Интегрирование простых процессов.
23. Теорема об аппроксимации предсказуемых процессов.
24. Интегрирование предсказуемых процессов.
25. Вычисление некоторых  интегралов.
26. Формула Ито.

Типовые задачи для экзамена.

1. Доказать частный случай теоремы об отражении, когда Марковский момент принимает только конечное число значений.  : 
2. Доказать обобщенный закон больших чисел для процесса броуновского движения.	3.Вычислить стохастический интеграл от экспоненты по процессу броуновского движения. 

4.  Вычислить второй абсолютный момент данного стохастического интеграла.

Экзаменационный билет состоит из одного вопроса и и задачи, например

1.	Теорема Колмогорова о непрерывных случайных процессах.
2.	Вычислить стохастический Интегра от экспонаты по процессу броуновского движения. 

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  
	
Оценка
РО и соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Экзамен	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Экзамен
 	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки  (владения, опыт деятельности)
Экзамен	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
1.		основные классы случайных процессов;
2.		основы теории мартингалов;
3.		основы теории стохастического интегрирования;
4.		основы стохастического анализа;
Уметь:  
1.		применять на практике общую теории случайных процессов к решению конкретных задач;
2.		определять к какому классу относится случайных процесс по его основным свойствам;
3.	применять основные методы теории мартингалов для решения типичных задач прикладного характера;
4.	применять теоретические утверждения теории мартингалов для исследования других случайных процессов;
5.	применять теоретические утверждения теории стохастических утверждений, например, формулу Ито к вычислению конкретных стохастических интегралов;
6.	формулировать основные типы стохастических дифференциальных уравнений.
7.	формулировать прикладные задачи в терминах случайных процессов.	
Владеть:
1.	навыками анализа основных типов случайных процессов;
2.	основными методам мартингалов для исследования других случайных процессов;
3.		навыками стохастического интегрирования предсказуемых случайных процессов.

ОПК-1.Б	
Знать:
1.	методологию вывода и анализа основных моделей, приводящих к понятию случайного процесса;
2.		основы теории существования классов случайных процессов, описывающих естественные явления
3.		основы теории мартингалов и ее связь с теорией суммирования независимых случайных величин;
4.		основы стохастического анализа и стохастического интегрирования.
Уметь: 
1.		применять методы теории мартингалов для исследования свойств других случайных процессов;
2.		применять теорию стохастического интегрирования для  исследования свойств случайных процессов;
Владеть:  
1.		навыками применения теорем о существовании
2.	случайных процессов с данными конечно-мерными распределения для исследования свойств конкретных случайных процессов и прикладных задач;

ОПК-2.Б	
Владеть: 
1.		навыками использования теории мартингалов и стохастического интегрирования для исследования новых свойств случайных процессов;

ПК-2.Б	
8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:
1. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. учебник. Киев: Наукова Думаю 1977. 
2. Дуб Дж. Вероятностные процессы. – М.: ИЛ, 1956. 
3. Круглов В.М. Случайные процессы. Часть 1ю Основы общей теории. Часть 2.
4. Основы стохастического анализа. М.: Юрой, 2016. 

Дополнительная литература:
1. Ватанабэ С., Икеа Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы.  – М.: Наука, 1986. 
2. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. – Киев: Наукова Думка, 1982. 
3.Medvegyev P. Stochastic integration theory. - Oxford: Oxford university press,	 2007. 
		
Информационные справочные системы:

Материально-техническое обеспечение:  аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания:	русский.

10. Преподаватели:  		профессор факультета ВМК МГУ В.М. Круглов.

11. Авторы программы:  	профессор факультета ВМК МГУ В.М. Круглов.