Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Математические основы теории вероятностей
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические методы обработки информации и принятия решений
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к вариативной части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу и теории вероятностей в объеме, соответствующем программе первых двух лет обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики
•	ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности 
•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1.	основные понятия и факты из теории меры и интегрирования, необходимые в теории вероятностей;
2.	основные методы из теории меры и интегрирования, позволяющие строить модели для описания реальных процессов и явлений.

Уметь:  
1.	применять основные методы из теории меры и интегрирования для построения продолжения вероятностных мер с полуалгебры на сигма-алгебру;
2.	строить конечные и бесконечные произведения вероятностных мер;
3.	находить производные одной меры относительно другой;
4.	анализировать асимптотические свойства семейства вероятностных распределений.

Владеть:  
1.	навыками оптимального выбора методов теории меры для построения вероятностных моделей;  
2.	ключевыми методами  мощного аппарата теории меры  для решения задач теории вероятностей и математической статистики, связанных с моментными характеристиками, с вопросами мажорируемости и эквивалентности вероятностных распределений.

4. Формат обучения: лекции проводятся с использованием меловой доски.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 5 з.е., в том числе 72 академических часа в виде лекций и 36 академических часа в виде семинаров, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 108 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
Тема 1.  Основные классы множеств. Продолжение меры.

Классы множеств. Полуалгебры, алгебры, сигма-алгебры, монотонные классы. Их свойства. Соотношения между классами. Примеры. Теорема о равенстве монотонного класса и сигма-кольца, порожденных одним и тем же кольцом.   
Классические вероятностные модели: дискретные вероятностные модели, геометрические вероятностные модели. 
Определение меры на полуалгебре. Продолжение меры  с полуалгебры на алгебру, ею порожденную. Свойства меры на алгебре.
Внешняя мера, отвечающая мере на алгебре. Измеримость относительно внешней меры множеств из сигма-кольца.
Продолжение меры с алгебры на порожденную ею сигма-алгебру	29	15	6	21	8	
Тема 2.  Измеримые пространства и функции. Типы сходимости последовательностей измеримых функций. 

Измеримые пространства и функции. Свойства измеримых функций. Сходимость почти всюду и по мере, почти равномерная сходимость. Связь между видами сходимости. Теорема Егорова.	9	5	2	7	2	
Тема 3.  Интегрирование. Пространства Lp  

Неравенства Гельдера и Минковского.
Их полнота.	10	4	4	8	2	
Тема 4. Производные Радона-Никодима. Разложение мер

Действительные меры. Разложение Жордана-Хана. 
Теорема Радона-Никодима.

Теорема Лебега о разложении. Свойства абсолютно непрерывных мер. Преобразования интегралов для серии абсолютно непрерывных мер. Мера, порождаемая исходной мерой на образе измеримой функции. Соответствующие преобразования интегралов.	24	12	6	18	6	
Промежуточная аттестация:  экзамен	18				18	
Тема 5.  Конечные и бесконечные произведения пространств с мерой

Конечные произведения пространств с мерой. Теорема Фубини.

Бесконечные произведения пространств с мерой. Теорема Колмогорова.	12	6	2	8	4	
Тема 6.  Борелевские меры в гильбертовом пространстве. Гауссовы меры

Операторы Гильберта-Шмидта. Теорема о полярном разложении.
Борелевские меры в гильбертовом пространстве. Ковариационный и корреляционный операторы. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы ковариационный оператор меры был S-оператором. 

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы функционал на гильбертовом пространстве был характеристическим Необходимое и достаточное условие для того, чтобы функционал на гильбертовом пространстве был характеристическим функционалом меры

Гауссова мера на гильбертовом пространстве. Теорема о виде характеристического функционала гауссовской меры. 

Моменты нормы гауссовского случайного элемента в гильбертовом пространстве. Теорема Скорохода-Ферника.	38	19	10	29	9	
Тема 7.  Теорема Прохорова о плотности и относительной компактности семейства вероятностных мер

Регулярность, плотность, слабая сходимость мер в метрических пространствах.
	22	11	6	17	5	
Аттестация:  экзамен	18				18	
ИТОГО	180	72	36	108	72	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)
Вопросы для индивидуального собеседования на устном экзамене.
Вопросы для экзамена в 5-м семестре.
1. Классы множеств. Полуалгебры, алгебры, сигма-алгебры, монотонные классы. Их свойства. Соотношения между классами. При-меры. Теорема о равенстве монотонного класса и сигма-кольца, порожденных одним и тем же кольцом.   
2. Определение меры на полуалгебре. Продолжение меры  с полуалгебры на алгебру, ею порожденную. Свойства меры на алгебре.
3. Внешние меры, полные меры. Множества, измеримые относительно внешней меры, образуют сигма-кольцо. Ограничение внешней меры на класс измеримых множеств есть полная мера.
4. Внешняя мера, отвечающая мере на алгебре. Измеримость относительно внешней меры множеств из сигма-кольца.
5. Продолжение меры с алгебры на порожденную ею сигма-алгебру, существенность условия о сигма-конечности меры для единственности продолжения. Критерий измеримости множества.
6. Измеримые оболочки. Пополнение меры на сигма-алгебре.
7. Мера Лебега на прямой. Борелевские и лебеговские множества на прямой. Характеризация меры Лебега как меры, инвариантной относительно сдвигов.
8. Измеримые пространства и функции. Свойства измеримых функций. Сходимость почти всюду и по мере, почти равномерная сходимость. Связь между видами сходимости. Теорема Егорова.
9. Теорема о приближении измеримых функций простыми. Внешний интеграл  и его свойства. Лемма Фату.
10. Интегрируемые функции, их свойства. Примеры. Предельный переход под знаком интеграла, теорема Лебега. Интегрируемость по Лебегу и по Риману.
11. Пространства    L p      и  Lp . Неравенства Гельдера и Минковского.
12. Пространства    Lp . Их полнота.
13. Действительные меры. Разложение Жордана-Хана.
14. Теорема Радона-Никодима.
15. Теорема Лебега о разложении. Свойства абсолютно непрерывных мер. Преобразования интегралов для серии абсолютно непрерывных мер. Мера, порождаемая исходной мерой на образе измеримой функции. Соответствующие преобразования интегралов. 
Вопросы для экзамена в 6-м семестре
1.	Конечные произведения пространств с мерой. Теорема Фубини.
2.	Бесконечные произведения пространств с мерой. Теорема Колмогорова.
3.	Операторы Гильберта-Шмидта (Го «Гауссовские меры в банаховых пространствах», Т.1.1. §1). Теорема о полярном разложении (Т.1.3. §1).
4.	Борелевские меры в гильбертовом пространстве. Ковариационный и корреляционный операторы. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы ковариационный оператор меры был S-оператором (Го , Т.2.1. §2).
5.	Необходимое и достаточное условие для того, чтобы функционал на гильбертовом пространстве был характеристическим функционалом меры (Го , Т.2.2. §2).
6.	Гауссовская мера на гильбертовом пространстве (Го , лемма 2.1. §2). Теорема о виде характеристического функционала гауссовской меры (Т.2.3. §2).
7.	Моменты нормы гауссовского случайного элемента в гильбертовом пространстве. Теорема Скорохода-Ферника.
8.	Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер в гильбертовом пространстве. Теорема Фельдмана-Гайека (без доказ.Го , §§2-3 гл.2).
9.	Регулярность, плотность, слабая сходимость мер в метрических пространствах (Т.1.1 и 1.4 §1 гл.1 и раздел «компактность» в Добавлении 1, Биллингсли «Сходимость вероятностных мер» ).
Теорема Прохорова о плотности и относительной компактности семейства вероятностных мер (к вопросам 12-14: Биллингсли, §§ 3, 5, 6 л.1).
    Прямая теорема
10.Случай, когда  S  есть  R1  , Rk  , R∞ .
11.Случай, когда  S  сигма-компактно, общий случай. 
12.Обратная теорема. 
Примерные контрольные задания для аттестации.
КЗА1.
1.	Определение меры на полуалгебре. Продолжение меры  с полуалгебры на алгебру, ею порожденную. Свойства меры на 
     алгебре.
2.	Задача 5.1 из книги «Действительный анализ в задачах», П.Л.Ульянов и др.,  Физматлит, 2005.

КЗА2.
1.	Необходимое и достаточное условие для того, чтобы функционал на гильбертовом пространстве был характеристическим функционалом меры.
2.	Задача 13.14 из книги «Действительный анализ в задачах», П.Л.Ульянов и др.,  Физматлит, 2005.

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Экзамен	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Экзамен	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Экзамен	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

Знать:
1.	основные понятия и факты из теории меры и интегрирования, необходимые в теории вероятностей;
2.	основные методы из теории меры и интегрирования, позволяющие строить модели для описания реальных процессов и явлений.
Уметь:  
1.	применять основные методы из теории меры и интегрирования для построения продолжения вероятностных мер с полуалгебры на сигма-алгебру;
2.	строить конечные и бесконечные произведения вероятностных мер;
3.	находить производные одной меры относительно другой;
4.	анализировать асимптотические свойства семейства вероятностных распределений.
Владеть:  
1.	навыками оптимального выбора методов теории меры для построения вероятностных моделей;  
2.	ключевыми методами  мощного аппарата теории меры  для решения задач теории вероятностей и математической статистики, связанных с моментными характеристиками, с вопросами мажорируемости и эквивалентности вероятностных распределений.

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)
	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
основные понятия и факты из теории меры и интегрирования, необходимые в теории вероятностей;
Уметь:  
применять основные методы из теории меры и интегрирования для построения продолжения вероятностных мер с полуалгебры на сигма-алгебру;
Владеть:  
навыками оптимального выбора методов теории меры для построения вероятностных моделей 	

ОПК-1.Б	
Знать:
             основные методы из теории меры и интегрирования, позволяющие строить модели для описания 
             реальных процессов и явлений
Уметь:  
строить конечные и бесконечные произведения вероятностных мер; 
находить производные одной меры относительно другой;
Владеть:  
ключевыми методами  мощного аппарата теории меры  для решения задач теории вероятностей и математической статистики, связанных с моментными характеристиками, с вопросами мажорируемости и эквивалентности вероятностных распределений.	

ОПК-2.Б	
Знать:
основные методы из теории меры и интегрирования, позволяющие строить модели для описания 
реальных процессов и явлений; 
Уметь:  
анализировать асимптотические свойства семейства вероятностных распределений;
Владеть:  
навыками оптимального выбора методов и параметров при решении задач анализа вероятностных распределений, описывающих реальные процессы и явления	

ПК-2.Б	

8. Ресурсное обеспечение:
Основная литература
1.	В.В. Ульянов. Математические основы теории вероятностей. М.: Изд-во Макс-Пресс. 2018.
2.	В.И. Богачев. Основы теории меры. М.: Изд-во РХД. 2003.
3.	Ж.Неве. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир. 1969. 
4.	П.Л.Ульянов, А.Н.Бахвалов, М.И.Дьяченко, К.С.Казарян, П.Сифуэнтес. Действительный анализ в задачах. М.: Физматлит. 2005.   
Дополнительная литература
1.	Х.-С.Го. Гауссовские меры в банаховых пространствах. – М.: Мир, 1979.
2.	П.Биллингсли. Сходимость вероятностных мер – М.: Наука, 1977.
3.	П.Халмош. Теория меры – М.: ИЛ, 1954.

Информационные справочные системы:

1)	https://elibrary.ru/
2)	http://mathworld.wolfram.com/ 

Материально-техническкое обеспечение:  аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания:	русский.

10. Преподаватели:		профессор факультета ВМК МГУ В.В.Ульянов;
				ассистент факультета ВМК МГУ М.А.Целищев.

11. Авторы программы:  	профессор факультета ВМК МГУ В.В.Ульянов.