Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Прикладные задачи теории вероятностей
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические методы обработки информации и принятия решений
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к вариативной части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу, линейной алгебре, теории вероятностей, математической статистики, функциональному анализу и теории случайных процессов в объеме, соответствующем программе первых трех лет обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики
•	ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности 
•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
 1.	основные принципы применения различных областей теории вероятностей к построению адекватных моделей реальных событий и явлений;
 2.	ключевые методы стохастического анализа применительно к постановке задач и исследованию их общих важных свойств;
 3.	базовые принципы построения динамических актуарных моделей и методы их исследования;
 4.	основные принципы решения задач, основанных на оптимизации нагрузки безопасности системы;
 5.	ключевые условия регулярности моделей, для которых применимы бесконечномерные асимптотические аппроксимации актуарных процессов.

Уметь:  
 1.	применять на практике стохастический анализ к задачам актуарной математики, финансовой математики и других разделов науки и техники;
 2.	применять метод полной вероятности для исследования характеристик дважды стохастических и трижды стохастических процессов.

Владеть:  
 1.	навыками по решению научных и практических задач, связанных с применением вероятностных методов и подходов.

4. Формат обучения: лекции проводятся с использованием проектора, экрана и меловой доски.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 3 з.е., в том числе 36 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 72 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
 1.	Основные понятия теории вероятностей, используемые при построении моделей реальных явлений. Основные понятия актуарной математики и теории риска.	4	2	0	2	2	
2.	Процессы риска Спарре Андерсена. Классический процесс риска.	4	2	0	2	2	
3.	Определение и простейшие свойства пуассоновского процесса.	4	2	0	2	2	
4.	Смешанные пуассоновские процессы и распределения. Процессы размножения. Связь со свойствами структурных распределений.	12	6	0	6	6	
5.	Гамма-экспоненциальная функция и обобщенные отрицательные биномиальные распределения.	4	2	0	2	2	
6.	Процессы Кокса. Простейшие свойства дважды стохастических пуассоновских процессов. Асимптотические свойства процессов Кокса.	12	6	0	6	6	
7.	Распределение суммарных страховых выплат.	4	2	0	2	2	
8.Формула Поллачека-Хинчина-
    Беекмана. Асимптотические аппроксимации вероятности разорения.	12	6	0	6	6	
9.Обобщенные процессы риска и вероятность разорения для обобщений классического процесса риска.	4	2	0	2	2	
10.Предельные теоремы для проекций обобщенных процессов риска. Теоремы переноса. Функциональные  предельные теоремы для обобщенных процессов риска.	12	6	0	6	6	
Текущий контроль успеваемости: коллоквиум	6				6	
Аттестация: устный экзамен	30				30	
Итого	108	36	0	36	72	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Вопросы к коллоквиуму.

1. Случайная величина.
2. Независимые одинаково распределенные случайные величины.
3. Функция распределения. Основные свойства функции распределения.
4. Математическое ожидание (в общем, дискретном и абсолютно непрерывном случаях).
5. Квантиль распределения. Медиана.
6. Отношение Ляпунова. Классическая дробь Ляпунова.
7. Вероятность.
8. Распределение Пуассона (плотность, характеристическая функция).
9. Нормальное распределение (плотность, характеристическая функция).
10. Экспоненциальное распределение (плотность, характеристическая функция).
11. Классическое неравенство Берри-Эссеена.
12. Характеристическая функция (в общем, дискретном и абсолютно непрерывном случаях).
13. Случайный процесс (две сущности).
14. Борелевская сигма-алгебра.
15. Безгранично делимое распределение (два определения).
16. Неравенство Иенсена.
17. Формула полной вероятности.
18. Аналог формулы полной вероятности для математического ожидания.
19. Плотность распределения.
20. n-кратная свертка функций распределения.
21. Процесс риска.
22. Вероятность разорения в динамической модели страхования.
23. Процесс восстановления.
24. Процесс риска Спарре Андерсена.
25. Нагрузка безопасности.
26. Классический процесс риска.
27. Пуассоновский процесс.
28. Теорема об асимптотической нормальности пуассоновского процесса.
29. Точечный процесс. Распределение точечного процесса.
30. Ординарный точечный процесс. Стационарный точечный процесс.
31. Смешанный пуассоновский процесс.
32. Теорема о безграничной делимости смешанного пуассоновского процесса.
33. Случайная мера.
34. Дважды стохастический пуассоновский процесс (процесс Кокса).
35. ЗБЧ для проекций процессов Кокса.
36. Ф.р. для проекции классического процесса риска.
37. Теорема об асимптотической нормальности классического процесса риска.
38. Теорема переноса.
39. Формула Поллачека-Хинчина-Беекмана.
40. Общий вид оценки для вероятности разорения в классических моделях.

 Билет для коллоквиума содержит 3 вопроса, например:
1. Квантиль распределения. Медиана.
2. Процесс риска.
3. Теорема об асимптотической нормальности классического процесса риска.

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

Вопросы к экзамену.

1. Процессы риска Спарре Андерсена. Классический процесс риска.
2. Определение и простейшие свойства пуассоновского процесса.
3. Смешанные пуассоновские процессы и распределения.
4. Смешанный пуассоновский процесс как процесс размножения.
5. Гамма-экспоненциальная функция и обобщенные отрицательные биномиальные распределения.
6. Теоремы о связи свойств смешанных пуассоновских процессов и структурных распределений.
7. Определение и графики траекторий дважды стохастических пуассоновских процессов.
8. Простейшие свойства дважды стохастических пуассоновских процессов.
9. Вспомогательные утверждения для описания асимптотических свойств процессов Кокса.
10. Асимптотические свойства процессов Кокса.
11. Распределение суммарных страховых выплат.
12. Формула Поллачека--Хинчина--Беекмана.
13. Приближенная формула для вероятности разорения при малой нагрузке безопасности.
14. Теорема об асимптотической аппроксимации вероятности разорения при малой нагрузке безопасности.
15. Обобщенные процессы риска и вероятность разорения для обобщений классического процесса риска.
16. Предельные теоремы для проекций обобщенных процессов риска.
17. Теоремы переноса для проекций обобщенных процессов риска.
18. Функциональные предельные теоремы для обобщенных процессов риска.
Типовые задачи для экзамена.

1. Найти дисперсию проекции дважды стохастического пуассоновского процесса.
2. Найти характеристическую функцию смешанного пуассоновского распределения со структурным гамма-распределением.
3. Найти частное значение вероятности для проекции процесса Кокса, управляемого стандартным пуассоновским процессом.

Экзаменационный билет состоит из вопроса и задачи, например

1. Смешанный пуассоновский процесс как процесс размножения.
2. Найти характеристическую функцию смешанного пуассоновского распределения со структурным гамма-распределением.

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  
	
Оценка  РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Коллоквиум,
Экзамен	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Коллоквиум	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Экзамен 	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
 1.	основные принципы применения различных областей теории вероятностей к построению адекватных моделей реальных событий и явлений;
 2.	ключевые методы стохастического анализа применительно к постановке задач и исследованию их общих важных свойств;
 3.	базовые принципы построения динамических актуарных моделей и методы их исследования;

Уметь:  
 1.	применять метод полной вероятности для исследования характеристик дважды стохастических и трижды стохастических процессов.

ОПК-1.Б
	
Знать:
 1.	базовые принципы построения динамических актуарных моделей и методы их исследования;
 2.	основные принципы решения задач, основанных на оптимизации нагрузки безопасности системы;
 3.	ключевые условия регулярности моделей, для которых применимы бесконечномерные асимптотические аппроксимации актуарных процессов.

Уметь:  
 1.	применять на практике стохастический анализ к задачам актуарной математики, финансовой математики и других разделов науки и техники;

ОПК-2.Б  	

Владеть: 
 1.	навыками по решению научных и практических задач, связанных с применением вероятностных методов и подходов.

ПК-2.Б 	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:
  
1. Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска: Учебн. Пособие. -- 2-е изд., перераб. и доп. -- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. -- 620 с.
2. Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Обобщенные процессы риска. М.: МАКС Пресс. 2000.
3. Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Шоргин С. Я. Введение в математическую теорию актуарных расчетов. М.: МАКС Пресс. 2002.

Дополнительная литература:

1.	Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1990.
2.	В.М. Золотарев. Современная теория суммирования случайных величин. – М.: Наука, 1986.
3.	В.М. Золотарев. Одномерные устойчивые распределения. – М.: Наука, 1983.
4.	Ю.В. Прохоров, Л.С.  Пономаренко. Лекции по теории вероятностей и математической статистике. – М: Изд-во Московского университета, 2012.
5.	B.V. Gnedenko, V. Yu. Korolev. Random Summation: Limit Theorems and Applications. – Boca Raton, FL: CRC Press, 1996.

Информационные справочные системы:

http://institutiones.com/download/books/2164-matematichiskie-osnovy-teorii-riska-korolev.html

Материально-техническое обеспечение:

аудитория с партами, проектором, экраном и меловой доской.
9. Язык преподавания - русский.

10. Преподаватели:

доцент кафедры математической статистики факультета ВМК МГУ А.А. Кудрявцев.

11. Авторы программы:

профессор кафедры математической статистики факультета ВМК МГУ В.Ю. Королев;
доцент кафедры математической статистики факультета ВМК МГУ А.А. Кудрявцев.