Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические и компьютерные методы решения задач естествознания
Математические методы обработки информации и принятия решений
Системное программирование и компьютерные науки
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к базовой части ОПОП ВО. 

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу и линейной алгебре в объеме, соответствующем программе первого года обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки». 

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики
•	ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности 
•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1.	методологию вывода и анализа основных моделей, приводящих к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ);
2.	основные классы интегрируемых ОДУ и методы их решения;
3.	общую теорию и методы решения линейных ОДУ и линейных систем ОДУ;
4.	основы теории существования, единственности и зависимости от параметров решений задачи Коши, а также связанные с ними методы приближённого решения ОДУ;
5.	основы теории устойчивости по Ляпунову и методы исследования устойчивости;
6.	классификацию положений равновесия автономных систем на плоскости;
7.	основы теории и стандартные методы решения краевых задач и задач Штурма-Лиувилля для линейных ОДУ второго порядка;
8.	основы теории и классические методы интегрирования уравнений в частных производных первого порядка;
9.	основы теории вариационного исчисления, их связь с краевыми задачами и задачей Штурма-Лиувилля.

Уметь:
1.	применять на практике общую теорию и методы решения линейных ОДУ и систем ОДУ,  в том числе, метод вариации постоянных, а также находить частное решение в виде квазимногочлена;
2.	находить приближённые решения ОДУ в виде степенных рядов, применять теорию зависимости решений ОДУ от параметров для приближённого решения ОДУ;
3.	применять первый метод Ляпунова для исследования устойчивости решений систем ОДУ;
4.	классифицировать положения равновесия автономных систем ОДУ на плоскости, исследовать поведение фазовых траекторий в окрестности положений равновесия и изображать эскизы типичных фазовых портретов;
5.	решать краевые задачи для линейных ОДУ (в том числе с использованием функции Грина), а также задачи Штурма-Лиувилля для линейных ОДУ;
6.	формулировать простейшие прикладные вариационные задачи, применять на практике необходимые условия экстремума для поиска экстремалей в основных задачах вариационного исчисления.

Владеть:  
1.	навыками интегрирования основных классов ОДУ и уравнений в частных производных первого порядка;
2.	навыками применения теорем о существовании и единственности решения задачи Коши для качественного исследования ОДУ;
3.	навыками использования определения устойчивости по Ляпунову, а также построения функций Ляпунова, для исследования устойчивости  решений систем ОДУ;

4. Формат обучения: лекции и семинарские занятия проводятся с использованием меловой доски, при проведении контрольных работ применяется компьютерная диалоговая система контроля знаний «Наставник».

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 7 з.е., в том числе 144 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 108 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.	Основные понятия и методы интегрирования (примеры вывода математических моделей, содержащих ОДУ; понятия решения, интегральной кривой, фазовой траектории, общего интеграла ОДУ; ОДУ в симметричной форме, параметрическое решение, ОДУ в полных дифференциалах и его свойства, интегрирующий множитель и его свойства).	34	8	12	20	14	
2.	Задача Коши (теоремы о существовании и единственности решения задач Коши для ОДУ разных видов и их систем, в том числе линейных).	10	6	2	8	2	
3.	Текущий контроль успеваемости: контрольная работа № 1 (и/или эссе, реферат и т.п.)	2	0	2	2	0	
4.	Общая теория линейных  ОДУ и систем линейных ОДУ (понятие линейной зависимости функций, определитель Вронского и его свойства; ФСР и общее решение, построение ФСР для линейных уравнений и систем с постоянными коэффициентами; построение линейного однородного ОДУ по набору решений, формула Остроградского-Лиувилля). 	52	16	16	34	18	
5.	Текущий контроль успеваемости: коллоквиум	6	0	2	2	4	
6.	Текущий контроль успеваемости: контрольная работа № 2	2	0	2	2	0	
7.	Зависимость решений задачи Коши от исходных данных и параметров (теорема о непрерывной зависимости от исходных данных, неравенство Чаплыгина, теоремы о непрерывной зависимости и дифференцируемости по параметру, метод малого параметра). 	16	6	6	10	6	
8.	Основы теории устойчивости, фазовая плоскость (понятие устойчивости по Ляпунову, устойчивость  решений  линейных систем с постоянными коэффициентами, первый и второй методы Ляпунова; поведение фазовых траекторий в окрестности положений равновесия). 	38	14	12	26	12	
9.	Текущий контроль успеваемости: контрольная работа № 3	2	0	2	2	0	
10.	Краевые задачи для ОДУ второго порядка, задача Штурма-Лиувилля (функция Грина краевой задачи для линейного ОДУ второго порядка; свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля, теорема Стеклова). 	14	6	4	10	4	
11.	Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка (первые интегралы нелинейных систем ОДУ и их свойства; линейные однородные и квазилинейные неоднородные  уравнения в частных производных первого порядка и соответствующие им системы характеристик, теоремы об общем решении этих уравнений).	16	8	4	12	4	
12.	Основы вариационного исчисления (вариация функционала, необходимое условие экстремума; основная лемма вариационного исчисления, необходимые условия экстремума для базовых типов функционалов и для изопериметрической задачи; связь изопериметрической задачи и задачи Штурма-Лиувилля). 	20	8	6	14	6	
13.	Текущий контроль успеваемости: контрольная работа № 4	2	0	2	2	0	
Промежуточная аттестация: зачет	2	0	0	0	2	
Промежуточная аттестация: устный экзамен	36	0	0	0	36	
Итого	252	72	72	144	108	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Контрольная работа № 1	
Вариант 1	Вариант 2	

1. Решить уравнение и найти особые решения, если они есть: 
   .
2. Решить задачу Коши: 
    Решить уравнения:
3. .
4. .
5. .	
1. Решить уравнение и найти особые решения, если они есть: 
   .
2. Решить задачу Коши: 
    Решить уравнения:
3. .
4. .
5..	

Контрольная работа № 2	
Вариант 1	Вариант 2	

Найти решения линейных ОДУ и их систем:

1. 
2. 
3.
4.
5. 	
Найти решения линейных ОДУ и их систем:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 	

Контрольная работа № 3	
Вариант 1	Вариант 2	
1. Найти  : 
2. Решить систему нелинейных ОДУ 
3. Исследовать на устойчивость: 
4. Найти a и b, при которых асимптотически устойчиво нулевое 
    решение уравнения 
5. Исследовать на устойчивость все положения равновесия системы
    	1. Найти  : 
2. Решить систему нелинейных ОДУ 
3. Исследовать на устойчивость: 
4. Найти a и b, при которых асимптотически устойчиво нулевое 
    решение уравнения 
5. Исследовать на устойчивость все положения равновесия системы

Контрольная работа № 4	
Вариант 1	Вариант 2	

1. Изобразить эскиз траекторий решений системы в окрестности 
    положения равновесия системы ОДУ 
2. Решить краевую задачу 
3. Построить функцию Грина: 
4. Решить задачу Коши для ДУ в частных производных 1-го порядка 
    
5.  Найти стационарные кривые функционала
     	
1. Изобразить эскиз траекторий решений системы в окрестности 
    положения равновесия системы ОДУ 
2. Решить краевую задачу 
3. Построить функцию Грина: 
4. Решить задачу Коши для ДУ в частных производных 1-го порядка 
    
5.  Найти стационарные кривые функционала

Вопросы к коллоквиуму.
1.	Понятие дифференциального уравнения, примеры. Редукция ОДУ n-го прядка, разрешенного относительно старшей производной, к нормальной системе ОДУ. Определение решения общего ОДУ n-го прядка и его интегральной кривой. Определение решения, интегральной кривой и фазовой траектории нормальной системы ОДУ, примеры. 
2.	Примеры математических моделей, использующих дифференциальные уравнения: движение материальной точки в пространстве под действием силы, зависящей от времени, положения точки и ее скорости; динамика популяций в рамках модели «хищник-жертва».
3.	ОДУ 1 порядка в симметричном виде, определение параметрического решения. Интеграл и общий интеграл, примеры. Уравнения в полных дифференциалах (УПД). Теорема об общем интеграле УПД.
4.	Уравнения в полных дифференциалах (УПД). Теорема о необходимом и достаточном условии того, что ОДУ в симметричном виде является УПД.
5.	Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Теорема о существовании интегрирующего множителя.
6.	Лемма Гронуолла-Беллмана.
7.	Постановка задачи Коши для ОДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной. Лемма о редукции этой задачи к интегральному уравнению. Условие Липшица по переменной  для скалярной функции . Теорема о единственности решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной.
8.	Теорема о существовании решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной.
9.	Постановка задачи Коши для ОДУ 1 порядка, не разрешенного относительно производной, примеры. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка, не разрешенного относительно производной. Особое решение ОДУ 1-го порядка, примеры.
10.	Постановка задачи Коши для нормальной системы ОДУ. Условие Липшица по переменным  для функции . Теорема о единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. 
11.	Теорема о существовании решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ на произвольном отрезке.
12.	Постановка задачи Коши для ОДУ n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной. Теорема о существовании и единственности решения этой задачи на произвольной отрезке. 
13.	Постановка задач Коши для линейного ОДУ n-го порядка и линейной системы ОДУ. Теоремы о существовании и единственности решения этих задач на произвольной отрезке. 
14.	Линейная зависимость и независимость скалярных функций. Определитель Вронского и его свойства. Примеры. Теорема об альтернативе для определителя Вронского для решений однородного линейного ОДУ n-ого порядка. 
15.	Фундаментальная система решений линейного ОДУ n-ого порядка. Теорема о существовании ФСР. Теорема об общем решении однородного линейного ОДУ n-ого порядка.
16.	Теорема об общем решении неоднородного линейного ОДУ n-ого порядка. Метод вариации постоянных.
17.	Теорема о построении ФСР однородного линейного ОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Пример построения однородного линейного ОДУ с постоянными коэффициентами по заданным решениям.
18.	Теорема о единственности однородного линейного ОДУ n-ого порядка, имеющего заданную ФСР.
19.	Теорема о построении однородного линейного ОДУ n-ого порядка, имеющего заданный набор решений, пример. Формула Остроградского-Лиувилля.
20.	Линейная зависимость и независимость векторных функций. Определитель Вронского и его свойства. Примеры. Теорема об альтернативе для определителя Вронского для решений однородной линейной системы ОДУ.
21.	Фундаментальная система решений однородной линейной системы ОДУ. Фундаментальная матрица. Теорема о существовании ФСР. Теорема об общем решении однородной линейной системы ОДУ.
22.	Теорема об общем решении неоднородной линейной системы ОДУ. Матрицант. Теорема о частном решении неоднородной линейной системы ОДУ (метод вариации постоянных).
23.	Теорема о построении ФСР однородной линейной системы ОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами в случае существования n линейно независимых собственных векторов матрицы системы.
24.	Теорема о построении ФСР однородной линейной системы ОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами в случае отсутствия n линейно независимых собственных векторов матрицы системы.

Билет для коллоквиума содержит 4 вопроса, например:

1.	Сформулировать и доказать теорему о необходимом и достаточном условии того, что обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка в симметричном виде является уравнением в полных дифференциалах.
2.	Сформулировать теорему об альтернативе для определителя Вронского для решений линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
3.	Сформулировать постановку задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной.
4.	Функции , ,  являются решениями линейного однородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка . Исследовать их на линейную зависимость на отрезке  и объяснить результат.

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

Зачетная работа	
Вариант 1	Вариант 2	
    Решить уравнения
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
    Решить системы уравнений
7. 
8. 	    Решить уравнения
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
    Решить системы уравнений
7.  
8.  	

Вопросы к экзамену.

1.	Понятие дифференциального уравнения, примеры. Редукция ОДУ n-го прядка, разрешенного относительно старшей производной, к нормальной системе ОДУ. Определение решения общего ОДУ n-го прядка и его интегральной кривой. Определение решения, интегральной кривой и фазовой траектории нормальной системы ОДУ, примеры. 
2.	Примеры математических моделей, использующих дифференциальные уравнения: движение материальной точки в пространстве под действием силы, зависящей от времени, положения точки и ее скорости; динамика популяций в рамках модели «хищник-жертва».
3.	ОДУ 1 порядка в симметричном виде, определение параметрического решения. Интеграл и общий интеграл, примеры. Уравнения в полных дифференциалах (УПД). Теорема об общем интеграле УПД.
4.	Уравнения в полных дифференциалах (УПД). Теорема о необходимом и достаточном условии того, что ОДУ в симметричном виде является УПД.
5.	Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Теорема о существовании интегрирующего множителя.
6.	Лемма Гронуолла-Беллмана. Условие Липшица для скалярной функции от 1-й переменной. Примеры, иллюстрирующие соотношения между множествами липшицевых, непрерывных и дифференцируемых функций; поведение липшицевых функций на бесконечности.
7.	Постановка задачи Коши для ОДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной. Лемма о редукции этой задачи к интегральному уравнению. Условие Липшица по переменной  для скалярной функции . Теорема о единственности решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной.
8.	Теорема о существовании решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной.
9.	Постановка задачи Коши для ОДУ 1 порядка, не разрешенного относительно производной, примеры. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка, не разрешенного относительно производной. Особое решение ОДУ 1-го порядка, примеры.
10.	Постановка задачи Коши для нормальной системы ОДУ. Условие Липшица по переменным  для функции . Теорема о единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. 
11.	Теорема о существовании решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ на произвольном отрезке.
12.	Постановка задачи Коши для ОДУ n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной. Теорема о существовании и единственности решения этой задачи на произвольной отрезке. 
13.	Постановка задач Коши для линейного ОДУ n-го порядка и линейной системы ОДУ. Теоремы о существовании и единственности решения этих задач на произвольной отрезке. 
14.	Линейная зависимость и независимость скалярных функций. Определитель Вронского и его свойства. Примеры. Теорема об альтернативе для определителя Вронского для решений однородного линейного ОДУ n-ого порядка. 
15.	Фундаментальная система решений линейного ОДУ n-ого порядка. Теорема о существовании ФСР. Теорема об общем решении однородного линейного ОДУ n-ого порядка.
16.	Теорема об общем решении неоднородного линейного ОДУ n-ого порядка. Метод вариации постоянных.
17.	Теорема о построении ФСР однородного линейного ОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Пример построения однородного линейного ОДУ с постоянными коэффициентами по заданным решениям.
18.	Теорема о единственности однородного линейного ОДУ n-ого порядка, имеющего заданную ФСР.
19.	Теорема о построении однородного линейного ОДУ n-ого порядка, имеющего заданный набор решений, пример. Формула Остроградского-Лиувилля.
20.	Линейная зависимость и независимость векторных функций. Определитель Вронского и его свойства. Примеры. Теорема об альтернативе для определителя Вронского для решений однородной линейной системы ОДУ.
21.	Фундаментальная система решений однородной линейной системы ОДУ. Фундаментальная матрица. Теорема о существовании ФСР. Теорема об общем решении однородной линейной системы ОДУ.
22.	Теорема об общем решении неоднородной линейной системы ОДУ. Матрицант. Теорема о частном решении неоднородной линейной системы ОДУ (метод вариации постоянных).
23.	Теорема о построении ФСР однородной линейной системы ОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами в случае существования n линейно независимых собственных векторов матрицы системы. Обоснование возможности перехода к действительнозначной ФСР в случае вещественной матрицы системы.
24.	Теорема о построении ФСР однородной линейной системы ОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами в случае отсутствия n линейно независимых собственных векторов матрицы системы.
25.	Теорема о зависимости от правой части и начального условия решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка, разрешенного относительно производной. Теорема о непрерывной зависимости от параметра решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка, разрешенного относительно производной.
26.	Теорема сравнения решений задач Коши для ОДУ 1-го порядка, разрешенного относительно производной (неравенство Чаплыгина).
27.	Теорема о дифференцируемости по параметру решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка, разрешенного относительно производной. Метод малого параметра.
28.	Основные понятия теории устойчивости, примеры. Редукция общей задачи к задаче для нулевого решения.
29.	Лемма об устойчивости нулевого решения однородной линейной системы. 
30.	Теорема об устойчивости нулевого решения однородной линейной системы ОДУ с постоянными коэффициентами. Теорема об устойчивости по первому приближению (первый метод Ляпунова, только формулировка).
31.	Положительно определенные функции и их свойства, примеры. Функция Ляпунова для нормальной системы ОДУ.
32.	Теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости нулевого решения нормальной системы ОДУ (второй метод Ляпунова). Пример.
33.	Теорема Четаева о неустойчивости нулевого решения нормальной системы ОДУ. Пример.
34.	Точки покоя (положения равновесия) нормальной автономной системы ОДУ. Классификация точек покоя (с эскизами фазовых траекторий и обоснованием эскиза узла) линейной однородной системы ОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и невырожденной матрицей. Грубые точки покоя, поведение фазовых траекторий нормальной автономной системы ОДУ 2-го порядка в окрестности грубой точки покоя.
35.	Постановка краевой задачи для линейного ОДУ 2-го порядка, редукция к дивергентному виду и однородным краевым условиям. Тождество Лагранжа, формула Грина, следствия из них.
36.	Определение функции Грина краевой задачи для линейного ОДУ 2-го порядка, теорема о существовании и единственности функции Грина. 
37.	Теорема о представлении решения краевой задачи для линейного ОДУ 2-го порядка через функцию Грина.
38.	Задача Штурма-Лиувилля, теоремы о свойствах собственных значений и собственных функций. Теорема Стеклова (только формулировка).
39.	Первые интегралы (ПИ) нормальной системы ОДУ, лемма о производной в силу системы. Геометрический смысл ПИ, теорема о представлении решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ с помощью функционально независимых ПИ.  
40.	Линейное однородное уравнение в частных производных (УЧП) 1-го порядка и соответствующая ему система характеристик. Теорема о связи между решениями линейного однородного УЧП 1-го порядка и первыми интегралами системы характеристик. Теорема об общем решении линейного однородного УЧП 1-го порядка.
41.	Квазилинейное неоднородное УЧП 1-го порядка и соответствующая ему система характеристик Теорема о связи между решениями квазилинейного неоднородного УЧП 1-го порядка и первыми интегралами системы характеристик.
42.	Квазилинейное неоднородное УЧП 1-го порядка и соответствующая ему система характеристик. Теорема о геометрическом смысле квазилинейного УЧП 1-го порядка. 
43.	Определение функционала, локального экстремума функционала, допустимой вариации функции, вариации функционала. Теорема о необходимом условии экстремума функционала.
44.	Основная лемма вариационного исчисления. Теорема о необходимом условии экстремума функционала вида , уравнение Эйлера. 
45.	Основная лемма вариационного исчисления. Теорема о необходимом условии экстремума функционала вида .
46.	Основная лемма вариационного исчисления в двумерном случае. Теорема о необходимом условии экстремума для функционала вида .
47.	Вариационная задача на условный экстремум, теорема о необходимом условии экстремума в этой задаче.
48.	Вариационное свойство собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля.

Типовые задачи для экзамена.

1. Найти  : 
2. Решить систему нелинейных ОДУ   

3. Исследовать на устойчивость: 

4. Найти a и b, при которых асимптотически устойчиво нулевое 
    решение уравнения 

5. Исследовать на устойчивость все положения равновесия системы
    
	6. Изобразить эскиз траекторий решений системы в окрестности 
    положения равновесия системы ОДУ 
7. Решить краевую задачу 
8. Построить функцию Грина: 
9. Решить задачу Коши для ДУ в частных производных 1-го порядка 
    
10.  Найти стационарные кривые функционала

Экзаменационный билет состоит из двух вопросов и задачи, например

1.	Теорема об общем решении неоднородной линейной системы ОДУ. Матрицант. Теорема о частном решении неоднородной линейной системы ОДУ (метод вариации постоянных).
2.	Теорема о дифференцируемости по параметру решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка, разрешенного относительно производной. Метод малого параметра.
3.	Построить функцию Грина: 

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Коллоквиум,
Экзамен	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Контрольная работа, зачет 	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Экзамен 	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	
Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)
	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
1.	основные классы интегрируемых ОДУ и методы их решения;
2.	общую теорию и методы решения линейных ОДУ и линейных систем ОДУ;
3.	основы теории и стандартные методы решения краевых задач и задач Штурма-Лиувилля для линейных ОДУ второго порядка;
4.	основы теории и классические методы интегрирования уравнений в частных производных первого порядка;
5.	основы теории вариационного исчисления, их связь с краевыми задачами и задачей Штурма-Лиувилля.
Уметь:  
1.	применять на практике общую теорию и методы решения линейных ОДУ и систем ОДУ,  в том числе, метод вариации постоянных, а также находить частное решение в виде квазимногочлена;
2.	находить приближённые решения ОДУ в виде степенных рядов, применять теорию зависимости решений ОДУ от параметров для приближённого решения ОДУ;
3.	решать краевые задачи для линейных ОДУ (в том числе с использованием функции Грина), а также задачи Штурма-Лиувилля для линейных ОДУ;
4.	формулировать простейшие прикладные вариационные задачи, применять на практике необходимые условия экстремума для поиска экстремалей в основных задачах вариационного исчисления.
Владеть:  
1.	навыками интегрирования основных классов ОДУ и уравнений в частных производных первого порядка;

ОПК-1.Б	
Знать:
1.	методологию вывода и анализа основных моделей, приводящих к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ);
2.	основы теории существования, единственности и зависимости от параметров решений задачи Коши, а также связанные с ними методы приближённого решения ОДУ;
3.	основы теории устойчивости по Ляпунову и методы исследования устойчивости;
4.	классификацию положений равновесия автономных систем на плоскости;
Уметь:  
1.	применять первый метод Ляпунова для исследования устойчивости решений систем ОДУ;
2.	классифицировать положения равновесия автономных систем ОДУ на плоскости, исследовать поведение фазовых траекторий в окрестности положений равновесия и изображать эскизы типичных фазовых портретов;
Владеть: 
1.	навыками применения теорем о существовании и единственности решения задачи Коши для качественного исследования ОДУ;

ОПК-2.Б	
Владеть:  
1.	навыками использования определения устойчивости по Ляпунову, а также построения функций Ляпунова, для исследования устойчивости  решений систем ОДУ;

ПК-2.Б	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:  
1.	Денисов А.М., Разгулин А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Макс-ПРЕСС, 2009.
2.	Дмитриев В.И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: КДУ, 2007.
3.	Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: Изд-во РХД, 2000. 
4.	Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление. М.:  Эдиториал УРСС, 2002.

Дополнительная литература:
1.	Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г Дифференциальные уравнения. М.: Наука,  1985. 
2.	Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МГУ, 1984. 
3.	Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982.
4.	Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Эдиториал УРСС, 2002.

Информационные справочные системы:  https://eqworld.ipmnet.ru/

Материально-техническкое обеспечение:  аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания - русский.

10. Преподаватели: профессора факультета ВМК МГУ А.М. Денисов, В.И. Дмитриев, А.В. Разгулин, 
доценты факультета ВМК МГУ С.Н. Аввакумов, И.В. Дмитриева, С.Г. Головина, Д.В. Камзолкин, М.В. Орлов, А.Г. Разборов, С.И. Соловьева, С.Р. Туйкина, М.В. Федотов, Е.Н Хайлов, А.Ю. Щеглов, ассистенты факультета ВМК МГУ Е.А. Павельева, Т.Е. Романенко.
11. Авторы программы:  профессора факультета ВМК МГУ А.М. Денисов, В.И. Дмитриев, А.В. Разгулин.