Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Численные методы оптимального управления
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические и компьютерные методы решения задач естествознания
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к к вариативной части ОПОП ВО

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу и линейной алгебре, дифференциальным уравнениям в объеме, соответствующем программе первого года и второго года обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики
•	ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности 
•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1.	методы решения краевой задачи принципа максимума Л.С.Понтрягина 
2.	методы последовательных приближений для решения задач оптимального управления 
3.	градиентные методы решения линейных задач оптимального управления с терминальным функционалом качества 
4.	разностные аппроксимации линейных задач оптимального управления.

Уметь:
1.	применять на практике методы решения краевой задачи принципа максимума Л.С.Понтрягина 
2.	применять методы последовательных приближений для решения задач оптимального управления 
3.	применять на практике градиентные методы решения линейных задач оптимального управления с терминальным функционалом качества 

Владеть:  
1.	навыками решения краевой задачи принципа максимума Л.С.Понтрягина 
2.	навыками применения методов последовательных приближений для решения задач оптимального управления 
3.   навыками применения градиентных методов для решения линейных задач оптимального управления с терминальным функционалом      качества 
4. Формат обучения: лекции и семинарские занятия проводятся с использованием меловой доски.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 2 з.е., в том числе 36 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 36 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.	Методы решения краевой задачи принципа максимума Л.С.Понтрягина	8	4	0	4	4	
2.	Методы последовательных приближений для решения задач оптимального управления	8	4	0	4	4	
3.   Метод локальных вариаций	10	6	0	6	4	
4.   Метод Балакришнана	4	2	0	2	2	
5.   Элементы теории выпуклых функций	8	4	0	4	4	
6.    Градиентные методы решения линейных задач оптимального управления с терминальным функционалом качества	16	10	0	10	6	
7. Разностные аппроксимации линейных задач оптимального управления	10	6	0	6	4	
Аттестация: зачет	8	0	0	0	8	
Итого	72	36	0	36	36	
7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.
       Контрольные задания данный курс не имеет.

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

         Вопросы к зачету
1. Методы решения краевой задачи принципа максимума Л.С.Понтрягина.
2. Методы последовательных приближений для решения задач оптимального управления.
3. Метод Балакришнана.
3. Метод локальных вариаций.
4. Элементы теории выпуклых функций.
6. Дифференцирование в гильбертовом пространстве. Градиент в задаче оптимального управления со свободным правым концом траектории.
5. Градиентные методы решения линейных задач оптимального управления с терминальным функционалом качества.
6. Разностные аппроксимации линейных задач оптимального управления.

Экзаменационный билет состоит из одного вопроса, например
1.	Дифференцирование в гильбертовом пространстве. Градиент в задаче оптимального управления со свободным правым концом траектории 

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Зачет	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Зачет
	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Зачет	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	
Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
1.	методы решения краевой задачи принципа максимума Л.С.Понтрягина 
2.	методы последовательных приближений для решения задач оптимального управления 
3.	градиентные методы решения линейных задач оптимального управления с терминальным функционалом качества 
Уметь:  
1. применять на практике методы решения краевой задачи принципа максимума Л.С.Понтрягина 
2. применять методы последовательных приближений для решения задач оптимального управления 
3. применять на практике градиентные методы решения линейных задач оптимального управления с терминальным функционалом качества 
Владеть:  
1. навыками решения краевой задачи принципа максимума Л.С.Понтрягина 
2. навыками применения методов последовательных приближений для решения задач оптимального управления 
      3.навыками применения градиентных методов для решения линейных задач оптимального управления с     
      терминальным функционалом      качества 	

ОПК-1.Б	
Знать:
1. методы решения краевой задачи принципа максимума Л.С.Понтрягина 
2. методы последовательных приближений для решения задач оптимального управления 
3. градиентные методы решения линейных задач оптимального управления с терминальным функционалом качества 
Уметь: 
1. применять на практике методы решения краевой задачи принципа максимума Л.С.Понтрягина 
2. применять методы последовательных приближений для решения задач оптимального управления 
3. применять на практике градиентные методы решения линейных задач оптимального управления с терминальным функционалом качества 
Владеть:  
1. навыками решения краевой задачи принципа максимума Л.С.Понтрягина 
2. навыками применения методов последовательных приближений для решения задач оптимального управления 
3.   навыками применения градиентных методов для решения линейных задач оптимального управления с терминальным функционалом качества 	

ОПК-2.Б	
Владеть:  
1. навыками решения краевой задачи принципа максимума Л.С.Понтрягина 
2. навыками применения методов последовательных приближений для решения задач оптимального управления 
3.   навыками применения градиентных методов для решения линейных задач оптимального управления с терминальным функционалом качества 	

ПК-2.Б	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:  
1.	Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.
2.	Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука,1988.
3.	 Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.
4.	 Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В.. Вариацмонные задачи механики и управления. М.: Наука, 1971.
5.	 Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1981.
6.	 Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.
7.	 Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

Дополнительная литература:
1.   Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование.   М.: Наука, Факториал, 1998.
2.  Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.
3.  Самарский А.А.  Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

Информационные справочные системы: https://eqworld.ipmnet.ru/

Материально-техническое обеспечение: аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания - русский.

10. Преподаватели:  		доцент факультета ВМК МГУ С.П. Самсонов

11. Авторы программы:  	доцент факультета ВМК МГУ С.П. Самсонов