Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Математические модели управляемых процессов
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические методы обработки информации и принятия решений
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к вариативной  части ОПОП ВО 

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу, линейной алгебре, дифференциальным уравнениям, функциональному анализу, вариационному исчислению, в объеме, соответствующем программе первого второго и третьего года обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности 
Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

знать  
1. классические математические модели содержащие неизвестные заранее параметры и управляемые параметры физики, мехатроники,    биофизики, экономики; 
2. методы исследования задач терминального управления для таких моделей;
уметь 
1. применять теоремы качественной теории гарантированного управления для  линейных и нелинейных систем, 
2. использовать методы  Понтрягина Л.С., Красовского Н.Н., Мищенко Е.Ф., Пшеничного Б.Н. для аналитического и численного решения различных прикладных задач управления при наличии неопределенных параметров.
владеть 
1. методологией применения методов математического моделирования управляемых процессов при наличии неопределенных параметров и их численной реализации для различных типов задач управления в условиях неопределенности.

4. Формат обучения: лекции и семинарские занятия проводятся с использованием меловой доски, при демонстрации примеров применяются компьютерные системы решения задач управления.

5. Объем дисциплины составляет 4 зачетных единицы, всего 144 часов.
72 часа составляет контактная работа с преподавателем – 36 часов занятий лекционного типа, 36 часов занятий семинарского типа.
72 часа составляет самостоятельная работа учащегося, подготовка и сдача экзаменов.

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.  Основные понятия и методы математического моделирования игровых управляемых процессов. Примеры математических моделей динамических процессов с неопреленными параметрами (помехами) физики, фундаментальной медицины, биофизических, химических, экономических процессов и математических задач гарантированного управления для таких процессов.  Постановки задач наведения на терминальное множество, уклонения, поиска.	6	2	2	4	2	
2. Игровая задача наведения на терминальное множество в классе программных управлений, контруправлений и позиционных управлений. Примеры.  Конструирование управления в виде прямого наведения, наведения с упреждением, параллельного сближения, наведения по лучу, пропорционального сближения по текущей информации о фазовых переменных. Задача о наихудшей пемехе в форме задачи нелинейного программирования. 
Моделирование процесса решения задачи игрового управления в пакете GAMS
Текущий контроль успеваемости: контрольное задание № 1	9	3	3	6	3	
3. Игровая задача управления в классе контруправлений
3.1.Дииференциальные игры с простыми движениями. Теорема Б.Н.Пшеничного. Теорема Р.П.Иванова.
3.2.Теорема Понтрягина об условиях окончания игры в момент гарантированного времени окончания игры. Этапы решения задачи преследования. Примеры: инерционный и не инерционный объекты, два инерционных объекта, контрольный пример Понтрягина.
3.3.Теорема Понтрягина об условиях окончания игры за время меньшее гарантированного при отклонении второго игрока от его наилучшей стратегии. Примеры.
Текущий контроль успеваемости: контрольное задание  № 2	12	4	4	8	4	
4. Задача уклонения от встречи  в линейных и нелинейных дифференциальных играх. Метод убегания Понтрягина, Мищенко. Примеры.	12	4	4	8	4	
5.Игровые задачи управления в классе программных управлений,
5.1.Поиск уклоняющегося объекта при его прямолинейном движении 
5.2.Поиск уклоняющегося объекта при его нахождении в начальный момент в заданной области.
3.Поиск уклоняющегося объекта в ограниченной области 
Текущий контроль успеваемости: контрольное задание  № 3	12	4	4	8	4	
6. Задача преследования группой преследователей одного убегающего. Метод гарантированного неухудшения позиции.  Примеры. Задача преследования тремя преследователями двух убегающих.	15	5	5	10	5	
7.  Задача Цермело. Прохождение кораблем области с меняющимся сильным течением, ветровым воздействием, обледенением .	12	4	4	8	4	
8. Задачи управления с неопределенными параметрами в моделях биофизики
8.1.Задача терминального управления системой хищник-жертва в классе позиционных управлений.
8.2.Задача терминального управления системой хищник-жертва общего вида в классе позиционных управлений.
8.3.Задача терминального управления системой хищник-жертва обобщенного  вида  в классе позиционных управлений..	12	4	4	8	4	
9. Задача терминального управления в классе ограниченных позиционных управлений
9.1 Задача управления продольным движением летательного аппарата для обеспечения движения с заданной скоростью и на заданной высоте.
9.2 Задача управлением пространственной ориентацией космических летательных аппаратов.
9.3 Задача управления движением автономного подводного аппарата. Задача погружения-всплытия. Задача патрулирования.
Текущий контроль успеваемости: контрольное задание  № 4	18	6	6 	12	6	
Аттестация: экзамен	36				36	
Итого	144	36	36	72	72	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Контрольное задание  № 1	
Расчет стратегии сближения двух динамических систем по методу Л.С.Понтрягина	
Вариант 1	Вариант 2	

Рсчет контруправления игрока P, обеспечивающего 
сближение двух инерционных объектов

	
Расчет контруправления игрока P, обеспечивающего 
сближение объектов в контрольном примере Л.С.Понтрягина

Контрольное задание  № 2	
Расчет стратегии уклонения в игре двух динамических систем по методу Л.С.Понтрягина, Е.Ф.Мищенко	
Вариант 1	Вариант 2	

Расчет контруправления игрока E, обеспечивающего 
уклонение объекта E с простым движением от инерционного объекта
P.

Расчет контруправления игрока E, обеспечивающего 
уклонение инерционного объекта E от инерционного объекта P.

Контрольное задание № 3	
Расчет стратегии сближения группы динамических систем с одним убегающим	
Вариант 1	Вариант 2	
Задача сближения группы  инерционных объектов и одного убегающего

	Задача сближения группы  инерционных объектов c трением и одного убегающего

Контрольное задание  № 4	
Расчет стратегии уклонения одного объекта от группы преследователей 	
Вариант 1	Вариант 2	
Задача уклонения объекта Е от встречи с группой  инерционных объектов Pi:
	Задача уклонения объекта Е от встречи с группой  объектов Pi:

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

Вопросы к экзамену:
1.Игровая задача управления в классе программных управлений, контруправлений и позиционных управлений. 
Игровая задача управления в классе программных управлений,
2.Поиск уклоняющегося объекта при его прямолинейном движении 
3.Поиск уклоняющегося объекта при его нахождении в начальный момент в заданной области.
4.Поиск уклоняющегося объекта в ограничений области.
Игровая задача управления в классе контруправлений
5.Дииференциальные игры с простыми движениями. Теорема Б.Н.Пшеничного. Теорема Р.П.Иванова.
6.Теорема Понтрягина об условиях окончания игры в момент гарантированного времени окончания игры. Этапы решения задачи преследования. Примеры: инерционный и не инерционный объекты, два инерционных объекта, контрольный пример Понтрягина.
7.Теорема Понтрягина об условиях окончания игры за время меньшее гарантированного при отклонении второго игрока от его наилучшей стратегии. Примеры.
8.Задача уклонения от встречи  в линейных дифференциальных играх. Метод убегания Понтрягина. Примеры.
9.Задача преследования группой преследователей одного убегающего. Метод гарантированного неухудшения позиции.  Примеры.
10.Математическая модель движения самолета в вертикальной плоскости. Посадка самолета в условиях ветровых возмущений. 
11.Задача Цермело. Прохождение кораблем области с меняющимся сильным течением.
Игровая задача управления в классе позиционных управлений. 
12.Задача терминального управления системой хищник-жертва в классе позиционных управлений.
13.Задача терминального управления системой хищник-жертва общего вида - 1 в классе позиционных управлений.
14.Задача терминального управления системой хищник-жертва общего вида - 2 в классе позиционных управлений.
15.Задача терминального управления в классе ограниченных позиционных управлений.
16.Задача управления продольным движением летательного аппарата для обеспечения движения с заданной скоростью и на заданной высоте.
17.Задача управлением пространственной ориентацией космических летательных аппаратов.
18.Задача управления движением автономного подводного аппарата. Задача погружения-всплытия. Задача патрулирования

Типовые задачи для экзамена.

1.Найти  стратегию первого игрока решающую задачу преследования для модели «Мальчик и крокодил»
2. Вычислить   стратегию первого игрока решающую задачу преследования для модели «Контрольный пример Понтрягина»
3. Найти  стратегию первого игрока решающую задачу преследования для модели «Два крокодила»
4.Вычислить стратегию второго игрока решающую задачу уклонения  для модели «Мальчик и крокодил»
5. Найти  стратегию второго игрока решающую задачу уклонения для модели «Контрольный пример Понтрягина»
6. Вычислить стратегию второго игрока решающую задачу уклонения для модели «Два крокодила»
7.Найти гарантированное время окончания игры преследования для модели «Мальчик и крокодил» из заданной начальной позиции.
8. Вычислить гарантированное время окончания игры преследования для модели «Контрольный пример Понтрягина » из заданной начальной позиции.
9. Найти гарантированное время окончания игры преследования для модели «Два крокодила » из заданной начальной позиции.
10. Вычислить стратегии преследующих игроков,  решающих задачу преследования для группы инерционных преследователей и убегающего, обладающего простым движением.

Экзаменационный билет состоит из двух вопросов и задачи, например

1.	Теорема Понтрягина об условиях окончания игры в момент гарантированного времени окончания игры. Этапы решения задачи преследования. Пример: инерционный и не инерционный объекты.
2.	Задача Цермело. Прохождение кораблем области с меняющимся сильным течением.
3.	Вычислить гарантированное время окончания игры поиска уклоняющегося объекта при его нахождении в начальный момент в заданной области. Динамика объектов описывается простыми движениями.

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Экзамен	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Контрольные задания по темам	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципи-ального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Защита результатов контрольных заданий.
Экзамен	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
знать  классические математические модели содержащие неизвестные заранее параметры и управляемые параметры физики, мехатроники, биофизики, экономики; методы исследования задач терминального управления для таких моделей;
уметь применять теоремы качественной теории гарантированного управления для  линейных и нелинейных систем, использовать методы  Понтрягина Л.С., Красовского Н.Н., Мищенко Е.Ф., Пшеничного Б.Н. для аналитического и численного решения различных прикладных задач управления при наличии неопределенных параметров.
владеть методологией применения методов математического моделирования управляемых процессов при наличии неопределенных параметров и их численной реализации для различных типов задач управления в условиях неопределенности.	

ОПК-2.Б	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:
1.Понтрягин Л.С. Избранные труды. Том 2. Дифференциальные уравнения, Теория операторов, Оптимальное управление, Дифференциальные игры. Москва, Наука, 1988.
2.Красовский Н.Н. .Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. Москва, Наука,1974.
3.Григоренко Н.Л.  Математические методы управления несколькими динамическими процессами.  Изд.  МГУ. 1990 г.
4.Черноусько Ф.Л. Управляемый поиск подвижного объекта. Прикладная математика и Механика.1980, т 44, вып.1, с. 2-12
5.Петросян Л.А. Гарнаев А.Ю. Игры поиска,  Изд-во С.Петербургского университета. 1992
6.Колесников А.А. Синергетические методы управления сложными системами: теория системного синтеза. — М.: Едиториал УРСС, 2005.
7.Синергетические методы управления сложными системами: механические и электромеханические системы/ Под общей редакцией А.А. Колесникова. — М.: Едиториал УРСС 2005.

Дополнительная литература:
1.Брайсон А., Хо Ю Ши, Прикладная теория оптимального управления. Изд-во МИР. М. 1972. 
2.Турова В.Л. Применение численных методов теории дифференциальных игр к задачам о взлете и прекращении посадки самолета // Тр. Ин-та мат. и мех. УрО РАН. Екатеринбург: УрО РАН, 1992. Т. 2. С. 188–201.
http://home.imm.uran.ru/sector3/
3.Боткин Н.Д., Зарх М.А., Кейн В.М., Пацко В.С., Турова В.Л. Дифференциальные игры и задачи управления самолетом при ветровых помехах. Техническая кибернетика, № 1,1983, с.68-76, 

Информационные справочные системы:  https://eqworld.ipmnet.ru/

Материально-техническкое обеспечение:  аудитория с партами и меловой доской.

специализированное программное обеспечение BOCOP (программная система для решения задач оптимального управления, свободное распространение), GAMS (программная система для решения задач нелинейного программирования, студенческая версия, свободное распространение) 

9. Язык преподавания - русский.

10. Преподаватели:  профессор факультета ВМК МГУ Н.Л.Григоренко , 

11. Автор программы:  профессор факультета ВМК МГУ  Н.Л.Григоренко