Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Позиционные дифференциальные игры
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические методы обработки информации и принятия решений
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к вариативной части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу и дифференциальным уравнения в объеме, соответствующем программе первого и второго годов обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности 

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1. основные понятия, определения и факты теории позиционных дифференциальных игр.

Уметь:
1. применять на практике основные методы теории гарантирующего управления.

Владеть:
1. навыками решения практических задач,
2. быть готовым как к адаптации этих алгоритмов к конкретным особенностям поставленной задачи, так и к внесению необходимых коррекций в саму постановку задачи.

4. Формат обучения: лекции проводятся с использованием меловой доски.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 2 з.е., в том числе 36 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 36 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.	Понятие управляемой системы, движения. 	3	2	0	2	1	
2.	Постановка задач наведения и уклонения.	12	8	0	8	4	
3.	Теория стабильных множеств.	12	8	0	8	4	
4.	Проблема корректности решений дифференциальных игр.	9	6	0	6	3	
5.	Процедура управления с дополнительной моделью.	6	4	0	4	2	
6.	Задачи наведения для систем с простыми движениями.	6	4	0	4	2	
7.	Одномерные дифференциальные игры наведения.	6	4	0	4	2	
Промежуточная аттестация: устный экзамен	18	0	0	0	18	
Итого	72	36	0	36	36	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Образец задач для самостоятельного решения. 

Задача № 1 по курсу «Позиционные дифференциальные игры».

На отрезке времени [0,1] рассмотрим одномерную управляемую систему
,
с ресурсами управления первого и второго игроков, задаваемыми множествами  и  соответственно. Терминальное множество представляет собой отрезок , где . Показать, что при любом задача уклонения из начальной позиции (0,0) от терминального множества  в момент 1 в классе допустимых программных управлений второго игрока не разрешима.

Задача № 2 по курсу «Позиционные дифференциальные игры».

На отрезке времени [0,1] рассмотрим одномерную управляемую систему
,
с ресурсами управления первого и второго игроков, задаваемыми множествами  и  соответственно. Показать, что множество  является u-стабильным. Найти стратегию первого игрока, экстремальную к этому множеству.

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

Вопросы к экзамену.

1.	Понятие управляемой системы, движения и его существования и единственности. Постановка задач наведения и уклонения в классе программных управлений и контруправлений.
2.	Постановка задач наведения и уклонения в классе позиционных стратегий. Улучшаемость результата, гарантируемого непрерывными позиционными стратегиями: пример А.И. Субботина. 
3.	Постановка задач наведения и уклонения в классе программных управлений, контруправлений и в классе позиционных стратегий. Сравнение различных законов управления. Примеры.
4.	Теория стабильных множеств. u- и v- стабильные множества. Маленькая игра. Условие седловой точки и его геометрический смысл. Стратегия экстремального сдвига. 
5.	Леммы о локальной и глобальной оценке. Достаточные условия разрешимости задач наведения и уклонения. 
6.	Теория стабильных множеств. u- и v- стабильные множества. Максимальный стабильный мост. Теорема об альтернативе.
7.	Проблема корректности решений дифференциальных игр. Условия устойчивости экстремального управления. Примеры.
8.	Процедура управления с дополнительной моделью (поводырем). Устойчивость управления с поводырем.
9.	Задачи наведения для систем с простыми движениями. Условие конечномерного наведения. Разрешимость задачи наведения в классе позиционных стратегий. Примеры.
10.	Одномерные дифференциальные игры наведения. Барьерные стратегии. Разрешимость задачи наведения в классе позиционных стратегий.

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и соответствующие  виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Экзамен
	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Экзамен
(и/или написание и защита рефератов  на заданную тему и т.п.) 	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Экзамен	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:
  
1.	Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир. 1967.
2.	Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука. 1974.
3.	Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. Киев: Наукова думка. 1992.
4.	Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука. 1981.
5.	Камзолкин Д.В. О построении максимальных стабильных мостов для одного класса нелинейных дифференциальных игр сближения // Дифференциальные уравнения. 2006, том 42, № 3, С.338--346.

Дополнительная литература:
1.	Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука. 1973.
2.	Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука. 1977.
3.	Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал пресс. 2002.
4.	Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1976.
5.	Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука. 1985.
6.	Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1974.
7.	Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестник МГУ. Сер. математика и механика. 1959. N 2. С. 25--32.

Информационные справочные системы: сайт кафедры оптимального управления oc.cs.msu.su.

Материально-техническое обеспечение: аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания - русский.

10. Преподаватели:  доцент факультета ВМК МГУ Д.В. Камзолкин.

11. Авторы программы:  доцент факультета ВМК МГУ Д.В. Камзолкин.