Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Условия оптимальности высших порядков
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические методы обработки информации и принятия решений
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к вариативной части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу, линейной алгебре и геометрии, обыкновенным дифференциальным уравнениям, а также базовыми знаниями по теории интеграла Лебега и бесконечномерным функциональным пространствам в объеме, соответствующем программе первого, второго и третьего годов обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики.
•	ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности. 
•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат.

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю): 

Знать:
1. примерные границы возможностей математических методов исследования и решения задач оптимизации, 
2. понимать общность и различия в постановках таких задач; 
Уметь:
1. выбирать адекватную форму постановки задач оптимизации и подходящий метод их решения в соответствии с имеющейся информацией о различных свойствах исходных данных; 	
Владеть: 
1. арсеналом базовых методов решения задач оптимизации и быть готовым как к адаптации этих методов к конкретным особенностям поставленной задачи, так и к внесению необходимых коррекций в саму постановку задачи.  

4. Формат обучения: лекции, проводятся с использованием меловой доски. 

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 3 з.е., в том числе 36 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 72 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий. 
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося, часы 
	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1. Предварительные сведения. Факты линейного функционального анализа:  теорема Банаха об открытом отображении  и оценка прообраза через норму образа,  теорема Хана—Банаха  об отделимости выпуклых множеств,  лемма о нетривиальности аннулятора  у собственного подпространства,  лемма  о замкнутости образа составного оператора, лемма об аннуляторе ядра линейного сюрьективного оператора.   Критерий управляемости линейной системы дифференциальных уравнений на данном отрезке времени в терминах сопряженной переменной.  Лемма Гронуолла о равномерной оценке решения линейной системы дифференциальных уравнений.   	4	2	0	2	2	
2. Дифференцирование отображений нормированных пространств:  производные Гато, Фреше, строгая  производная  и связь между ними.   Теорема о конечном приращении (о среднем).  Оператор Немыцкого (подстановка в функцию)  и его производная.  Оператор решения управляемой системы нелинейных дифференциальных уравнений и его производная. Уравнение в вариациях.  Теорема Люстерника об оценке расстояния до множества нулей оператора.  Следствие:  теорема о касательном подпространстве к множеству уровня оператора. 	4	2	0	2	2	
3. Общая задача на экстремум с ограничениями в банаховом пространстве с ограничениями равенства и неравенства.  Необходимые условия первого порядка для локального минимума (схема Дубовицкого — Милютина).  Правило множителей Лагранжа.  Активные индексы и условия дополняющей нежесткости.  Единственность множителей Лагранжа в случае невырожденных  ограничений равенства.  Симметричность необходимых условий минимума относительно перестановки целевого функциионала и любого активного ограничения неравенства.  Задача на минимакс и ее сведение к гладкой задаче с ограничениями неравенства.   	8	4	0	4	4	
4. Конус критических вариаций.  Мягкие (особые)  и жесткие (неособые) индексы  неравенств  в его записи.   Его тривиальность – достаточное условие первого порядка для локального минимума. 	4	2	0	2	2	
5. Квадратичные условия локального минимума. Конечномерная задача на экстремум с ограничениями равенства и неравенства.  Условия  второго порядка для  локального минимума.  Задача в банаховом пространстве. Схема двух норм.  Необходимые и достаточные условия  квадратичного порядка  для локального минимума.  	4	2	0	2	2	
6. Каноническая задача Лагранжа  классического вариационного  исчисления  в  понтрягинской форме.  Пространства фазовых и управляющих функций  в канонической задаче.  Основные типы минимума:  сильный и  слабый.   Оператор, задающий ограничения равенства, и  замкнутость образа его производной. 	6	3	0	3	3	
7. Применение  общего правила множителей Лагранжа  к задаче Лагранжа КВИ.  Обобщенная лемма Дюбуа—Раймона. Уравнение Эйлера—Лагранжа:  сопряженное уравнение, условия трансверсальности, условие стационарности по управлению. Задачи, сводящиеся к канонической задаче Лагранжа:  задача с интегральным функционалом, с изопериметрическими ограничениями, со старшими производными, задачи на нефиксированном отрезке времени.	8	4	0	4	4	
8. Условия «второго» порядка  для слабого минимума в задаче Лагранжа.  Общий вид квадратичной формы – второй вариации функции Лагранжа, возникающей  в задаче Лагранжа.   Общий вид конуса критических вариаций.  Квадратичный порядок минимума. 	4	2	0	2	2	
9.Условие Лежандра. Необходимое условие Лежандра для  неотрицательности  квадратичной формы.  Достаточность усиленного условия  Лежандра  для положительной определенности квадратичной формы  на малых отрезках времени.  	6	3	0	3	3	
10. Процедура исследования квадратичной формы с помощью уравнения Эйлера—Якоби.   Вид уравнения Эйлера —Якоби  для  интегральной  квадратичной  формы  в случае вполне управляемой системы,  нулевого правого конца и ограничений равенства на левом конце.  Сопряженная точка  и уравнение для ее нахождения.  Знакоопределенность квадратичного функционала в зависимости от положения сопряженной точки.  	8	4	0	4	4	
11.  Задачи, линейные по управлению. Вторая вариация функции Лагранжа и переход к новым фазовым переменным (преобразование Гоха).  Условия Гоха для неотрицательности вырожденной интегральной квадратичной формы.   Выражение условий Гоха через скобки Ли векторных полей.
Квадратичный порядок и достаточные условия этого порядка  для слабого минимума.   	8	4	0	4	4	
12. Примеры нахождения экстремалей и проверки условий второго порядка.  Задачи о гармоническом осцилляторе, о геодезических на сфере, о преломлении света, о расстоянии между поверхностями, о «поедании торта», о наискорейшем разгоне, задача потребителя, изопериметрическая задача, и др.  Исследование квадратичных функционалов от одной и двух фазовых переменных на знакоопределенность. 	8	4	0	4	4	
Промежуточная аттестация: устный экзамен
	36	0	0	0	36	
Итого	108	36	0	36	72	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

Основной экзамен проводится в устной форме по экзаменационным билетам, состоящим из одного теоретического вопроса и одной 
задачи. Итоговая экзаменационная оценка определяется с учетом решения задачи и оценки устного ответа по теоретическому вопросу.
Вопросы к экзамену.

  1.  Критерий управляемости линейной системы дифференциальных уравнений на данном отрезке времени в терминах сопряженной переменной.  Лемма Гронуолла о равномерной оценке решения линейной системы дифференциальных уравнений. 
  2.  Дифференцирование отображений нормированных пространств:  производные Гато и  Фреше.  Теорема о конечном приращении.   
  3.  Оператор Немыцкого (подстановка в функцию)  и его производная.  Уравнение в вариациях для нелинейной управляемой системы. 
  4.  Теорема Люстерника об оценке расстояния до множества нулей оператора.  Следствие:  теорема о касательном подпространстве. 
  5.  Общая задача на экстремум с гладкими ограничениями равенства и неравенства в банаховом пространстве.   Правило множителей Лагранжа.
  6.  Единственность множителей Лагранжа в задаче с невырожденными ограничениями равенства.
  7.  Конус критических вариаций в общей задаче. Мягкие и жесткие индексы  в его записи.  Достаточное условие первого порядка для локального минимума. 
  8.  Конечномерная задача на экстремум с ограничениями равенства и неравенства.  Условия  второго порядка для  локального минимума.  
  9.  Задача Лагранжа  КВИ  в понтрягинской форме.  Классы фазовых и управляющих функций.  Слабый и сильный минимумы.  Сведение других постановок задачи (с интегральным функционалом, со старшими производными, с нефиксированным временем)  к канонической. 
 10. Необходимые условия первого порядка для слабого минимума в задаче Лагранжа.  Сопряженное уравнение, условия трансверсальности, условие стационарности  по управлению.  
 11.  Обобщенная лемма Дюбуа—Раймона. 
 12.  Функция Лагранжа для задачи Лагранжа и её вторая вариация.  Квадратичный порядок и условия этого порядка для слабого минимума в задаче Лагранжа.   
 13.  Необходимое условие Лежандра для  неотрицательности  квадратичной формы, возникающей  в задаче Лагранжа.  Достаточность усиленного условия Лежандра  для положительной определенности квадратичной формы  на малых отрезках времени. 
 14. Сопряженная точка интегральной  квадратичной  формы  и её нахождение с помощью уравнения Эйлера—Якоби.  
 15.  Общий вид второй вариации функции Лагранжа в задаче, линейной по управлению. Преобразование Гоха.  Условия Гоха для неотрицательности вырожденной интегральной квадратичной  формы.   
  
ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Экзамен	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Контрольная работа, итоговая контрольная работа
	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Экзамен 	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
примерные границы возможностей математических методов исследования и решения задач оптимизации, понимать общность и различия в постановках таких задач; 
Уметь:
выбирать адекватную форму постановки задач оптимизации и подходящий метод их решения в соответствии с имеющейся информацией о различных свойствах исходных данных; 
Владеть:
арсеналом базовых методов решения задач оптимизации и быть готовым как к адаптации этих методов к конкретным особенностям поставленной задачи, так и к внесению необходимых коррекций в саму постановку задачи.  	

ОПК-1.Б	
Знать:
примерные границы возможностей математических методов исследования и решения задач оптимизации, понимать общность и различия в постановках таких задач; 
Уметь:
выбирать адекватную форму постановки задач оптимизации и подходящий метод их решения в соответствии с имеющейся информацией о различных свойствах исходных данных; 
Владеть:
арсеналом базовых методов решения задач оптимизации и быть готовым как к адаптации этих методов к конкретным особенностям поставленной задачи, так и к внесению необходимых коррекций в саму постановку задачи.  	

ОПК-2.Б	
Владеть:
арсеналом базовых методов решения задач оптимизации и быть готовым как к адаптации этих методов к конкретным особенностям поставленной задачи, так и к внесению необходимых коррекций в саму постановку задачи.  	

ПК-2.Б	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:
В.М. Алексеев,  В.М. Тихомиров,  С.В. Фомин.  Оптимальное управление.  Физматлит, 2006. 
А.А. Милютин, А.В. Дмитрук, Н.П. Осмоловский.  Принцип  максимума  в оптимальном управлении.  
Мехмат МГУ, 2004,   http://www.math.msu.su/department/opu/node/139  
В.М. Алексеев,  Э.М. Галеев,  В.М. Тихомиров.  Сборник задач по оптимизации. М., Наука, 1984.
С.А. Ашманов,  А.В. Тимохов.  Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М., Наука, 1991.
Р. Габасов, Ф.М. Кириллова. Особые оптимальные управления. М., Наука, 1973. (Введение и глава 1.)

Дополнительная литература:
И.М. Гельфанд, С.В. Фомин.  Вариационное исчисление. М., Физматгиз, 1961.
А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров.  Теория экстремальных задач.  М., Наука, 1974.
И.В. Гирсанов.  Лекции по теории  экстремальных задач.  МГУ, 1970,   РХД, 2004. 
М.И. Зеликин. Оптимальное управление и вариационное исчисление.  М.,  УРСС, 2004. 
«Оптимальное управление» (ред.  В.М. Тихомиров, Н.П. Осмоловский), М., МЦНМО, 2008. 

Информационные справочные системы: https://eqworld.ipmnet.ru/

Материально-техническое обеспечение:  аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания:	русский.

10. Преподаватели:  		профессор факультета ВМК МГУ  А.В. Дмитрук

11. Автор программы:   	профессор факультета ВМК МГУ  А.В. Дмитрук