Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Вариационное исчисление
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические методы обработки информации и принятия решений
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к вариативной части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу, линейной алгебре и геометрии, обыкновенным дифференциальным уравгнениям, а также базовыми знаниями по теории интеграла Лебега и бесконечномерным функциональным пространствам в объеме, соответствующем программе первого, второго и третьего годов обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики.
•	ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности. 
•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат.

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):
Знать:
1. примерные границы возможностей математических методов исследования и решения вариационных задач, 
2. понимать общность и различия в постановках таких задач;
Уметь:  
1. выбирать адекватную форму постановки вариационной задачи и подходящий метод ее решения в соответствии с имеющейся информацией о различных свойствах исходных данных;	
Владеть:
1. арсеналом базовых методов решения вариационных задач и быть готовым как к адаптации этих методов к конкретным особенностям поставленной задачи, так и к внесению необходимых коррекций в саму постановку задачи.  

4. Формат обучения: лекции и семинарские занятия проводятся с использованием меловой доски. Качество усвоения предмета на семинарских занятиях проверяется контрольными работами, выполняемыми на отдельных листах бумаги.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 3 з.е., в том числе 72 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 36 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.	Введение. Задача о брахистохроне. Классы допустимых функций. Постановки задач вариационного исчисления. Определения слабого и сильного локальных минимумов. Соотношения между ними для простейшей задачи вариационного исчисления. Лемма о «скруглении углов». Необходимые условия минимума. Первая вариация функционала. Постановка задачи оптимального управления.	5	2	2	4	1	
2.	Простейшая задача вариационного исчисления. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Решение задачи о брахистохроне. Примеры Больца, Гильберта и Вейерштрасса. Гармонический осциллятор.	5	2	2	4	1	
3.	Изопериметрическая задача вариационного исчисления. Изопериметрическая задача вариационного исчисления. Первая и вторая задачи Дидоны. Задача о цепной линии.	5	2	2	4	1	
4.	Задача Лагранжа с голономными связями. Задача Лагранжа с голономными связями. Задача о движении материальной точки по плоскому желобу.	5	2	2	4	1	
5.	Задача Лагранжа с неголономными связями. Задача Лагранжа с неголономными связями и ее обобщение. Линейно-квадратичная задача оптимального управления.	5	2	2	4	1	
6.	Негладкие экстремали. Условия Вейерштрасса-Эрдмана. Задача о кривой, образующей при своем вращении поверхность возможно меньшей площади. Негладкие экстремали. Понятие угловой точки. Теорема Гильберта о дифференцируемости. Условия Вейерштрасса-Эрдмана.	5	4	4	8	2	
7.	Условия трансверсальности в задаче с подвижными концами. Условия трансверсальности в задаче с подвижными концами.	5	2	2	4	1	
8.	Преобразование Лежандра. Канонические уравнения Гамильтона. Преобразование Лежандра. Канонические уравнения Гамильтона. Механический смысл преобразования Лежандра. Принцип максимума Понтрягина для линейно-квадратичной задачи оптимального управления.	5	2	2	4	1	
9.	Простейшая задача вариационного исчисления на сильный минимум. Простейшая задача вариационного исчисления на сильный минимум. Функция Вейерштрасса. Пример задачи вариационного исчисления, в которой экстремаль доставляет лишь слабый минимум. Квадратичная задача вариационного исчисления на сильный минимум. Линейно-квадратичная задача оптимального управления как пример задачи на сильный минимум. Принцип максимума Понтрягина для задачи о простом движении.	5	4	4	8	2	
10.	Поле экстремалей. Функция действия. Уравнение Гамильтона-Якоби. Поле экстремалей. Центральное поле экстремалей. Функция действия и ее полный дифференциал. Уравнение Гамильтона-Якоби. Инвариантный интеграл Гильберта и его свойства. Достаточные условия сильного минимума, использующие уравнение Гамильтона-Якоби и функцию Вейерштрасса. Решение уравнения Гамильтона-Якоби для квадратичной задачи вариационного исчисления. Матричное уравнение Риккати.	10	4	4	8	2	
11.	Условия Лежандра. Вторая вариация функционала. Условия Лежандра. Вторая вариация функционала. Необходимые условия слабого минимума, использующие условие Лежандра. Достаточные условия слабого минимума и сильного минимума, использующие условия Лежандра.	5	2	2	4	1	
12.	Сопряженные точки. Условия Якоби. Сопряженные точки. Условия Якоби. Необходимые условия слабого минимума, использующие условие Якоби. Достаточные условия слабого минимума и сильного минимума, использующие условия Якоби.	10	4	4	8	2	
13.	Существование решений в простейшей задаче вариационного исчисления. Существование решений в простейшей задаче вариационного исчисления. Теорема Тонелли. Существование решений при наличии ограничений на производные допустимых функций. Пример Лаврентьева.	5	2	2	4	1	
14.	Примеры решения задач. Решение задач вариационного исчисления. Задача о геодезических на полуплоскости Пуанкаре. Аэродинамическая задача Ньютона. Задача о стрельбе. Задача оптимального управления для финансово-кредитной модели непрерывного типа.	5	2	2	4	1	
Промежуточная аттестация: итоговая контрольная работа	2	0	0	0	2	
Аттестация: устный экзамен	36	0	0	0	16	
Итого	108	36	36	72	36	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Образец заданий контрольной работы № 1

1.	Найти первую вариацию функционала в простейшей задаче вариационного исчисления:

2.	Исследовать на экстремум изопериметрическую задачу вариационного исчисления:

3.	Исследовать на экстремум задачу вариационного исчисления с подвижными границами:

Образец заданий контрольной работы № 2

1.	C помощью необходимых и достаточных условий найти экстремумы в простейшей задаче вариационного исчисления:

2.	C помощью необходимых и достаточных условий найти экстремумы в простейшей задаче вариационного исчисления:

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

Образец заданий итоговой контрольной работы

1.	Заданы последовательность функций  и функция  при . Проверить сходимость:
,	
2.	C помощью необходимых и достаточных условий найти экстремумы в простейшей задаче вариационного исчисления:

3.	Исследовать на экстремум задачу Лагранжа:

Основной экзамен проводится в устной форме по экзаменационным билетам, состоящим из одного вопроса. Итоговая экзаменационная оценка определяется с учетом заработанной на семинарских занятиях оценки практических знаний и оценки устного ответа по теоретическим вопросам.

Вопросы к экзамену.
1.	Постановки задач вариационного исчисления. Сильный и слабый минимум. Лемма о скруглении углов. Связь между сильным и слабым минимумами.
2.	Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Примеры Гильберта, Больца и Вейерштрасса.
3.	Изопериметрическая задача вариационного исчисления. Задача Дидоны. Цепная линия.
4.	Задача Лагранжа с голономными связями. Задача о движении материальной точки по поверхности.
5.	Задача Лагранжа с неголономными связями и ее обобщение.
6.	Негладкие экстремали. Задача о кривой, имеющей при своем вращении поверхность возможно меньшей площади. Теорема Гильберта. Условия Вейерштрасса-Эрдмана.
7.	Условия трансверсальности в задаче с подвижными концами.
8.	Преобразование Лежандра. Канонические уравнения Гамильтона. Механический смысл преобразования Лежандра.
9.	Принцип максимума Понтрягина для линейно-квадратичной задачи оптимального управления.
10.	Простейшая задача вариационного исчисления на сильный минимум. Функция Вейерштрасса. Квадратичная задача вариационного исчисления. Принцип максимума Понтрягина для задачи о простом движении.
11.	Поле экстремалей. Дифференциал функции действия. Уравнение Гамильтона-Якоби.
12.	Инвариантный интеграл Гильберта и его свойства. Решение уравнения Гамильтона-Якоби для квадратичной задачи вариационного исчисления.
13.	Достаточные условия сильного минимума, использующее уравнение Гамильтона-Якоби и функцию Вейерштрасса.
14.	Вторая вариация. Условия Лежандра. Необходимое условие слабого минимума, использующее условие Лежандра.
15.	Достаточные условия слабого и сильного минимумов, использующие условия Лежандра.
16.	Сопряженные точки. Условие Якоби. Необходимое условие слабого минимума, использующее условие Якоби.
17.	Достаточное условие слабого минимума, использующее условие Якоби.
18.	Достаточное условие сильного минимума, использующее условие Якоби.
19.	Существование решений в простейшей задаче вариационного исчисления. Теорема Тонелли. Существование решений при наличии ограничений на производные допустимых функций. 
20.	Пример Лаврентьева.
21.	Задача о геодезических на полуплоскости Пуанкаре. Аэродинамическая задача Ньютона.
22.	Задача о стрельбе. Задача оптимального управления для финансово-кредитной модели непрерывного типа.

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Экзамен	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Контрольная работа, итоговая контрольная работа	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Экзамен 	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
примерные границы возможностей математических методов исследования и решения вариационных задач, понимать общность и различия в постановках таких задач;

Уметь:
выбирать адекватную форму постановки вариационной задачи и подходящий метод ее решения в соответствии с имеющейся информацией о различных свойствах исходных данных;

Владеть:
арсеналом базовых методов решения вариационных задач и быть готовым как к адаптации этих методов к конкретным особенностям поставленной задачи, так и к внесению необходимых коррекций в саму постановку задачи.	

ОПК-1.Б	
Знать:
примерные границы возможностей математических методов исследования и решения вариационных задач, понимать общность и различия в постановках таких задач;

Уметь:
выбирать адекватную форму постановки вариационной задачи и подходящий метод ее решения в соответствии с имеющейся информацией о различных свойствах исходных данных;

Владеть:
арсеналом базовых методов решения вариационных задач и быть готовым как к адаптации этих методов к конкретным особенностям поставленной задачи, так и к внесению необходимых коррекций в саму постановку задачи.	

ОПК-2.Б	
Владеть:
арсеналом базовых методов решения вариационных задач и быть готовым как к адаптации этих методов к конкретным особенностям поставленной задачи, так и к внесению необходимых коррекций в саму постановку задачи.	

ПК-2.Б	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:
  
1.	Галеев Э.М. Курс лекций по вариационному исчислению и оптимальному управлению. М.: Издательство МГУ, 1996.
2.	Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи. М.: Эдиториал УРСС, 2000.
3.	Зеликин М.И. Оптимальное управление и вариационное исчисление. М.: Эдиториал УРСС, 2004.
4.	Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Вариационное исчисление. М.: Наука, 1974.
Дополнительная литература:

1.	Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Эдиториал УРСС, 2002.
2.	Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление: задачи и примеры с подробными решениями. М.: Эдиториал УРСС, 2002.
3.	Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. М.: Изд-во МАИ, 2000.
4.	Карташов А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1986.

Информационные справочные системы: https://eqworld.ipmnet.ru/

Материально-техническое обеспечение:  аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания - русский.

10. Преподаватели: 		доцент факультета ВМК МГУ Е.Н. Хайлов, 
				старший преподаватель факультета ВМК МГУ А.В. Кулевский.

11. Авторы программы:  	доцент кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ Е.Н. Хайлов, 
			        	старший преподаватель кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ А.В. Кулевский.