Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Выпуклый анализ
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические методы обработки информации и принятия решений
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299) 

1. Дисциплина относится к вариативной части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу, линейной алгебре и геометрии, в объеме, соответствующем программе первого и второго годов обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики.
•	ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности. 
•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат.

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю): 

Знать:
1. основные понятия, конструкции и факты выпуклого анализа; 

Уметь:
1. строго обосновывать математические утверждения; 
2. применять свойства выпуклости для анализа и решения задач оптимизации; 
	
Владеть: 
1. современными средствами выпуклого анализа и теории оптимизации.  

4. Формат обучения: лекции и семинарские занятия проводятся с использованием меловой доски. Качество усвоения предмета на семинарских занятиях проверяется контрольной работой, выполняемой на отдельных листах бумаги.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 4 з.е., в том числе 72 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 72 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий. 
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
						
1. Выпуклые множества   
	36	12	12	24	12	
2. Выпуклые функции 	36	12	12	24	12	
3. Выпуклые экстремальные задачи
	24	12	12	24	10	
Промежуточная аттестация: итоговая контрольная работа	2	0	0	0	2	
Промежуточная аттестация: устный экзамен
	36	0	0	0	36	
Итого
	144	36	36	72	72	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Образец заданий итоговой контрольной работы

1.	Найти поляру множества, заданного неравенствами 

2.	Найти сопряжённую функцию к 
3.	Найти субдифференциал функции    в точке (0,0.0)
4.	На плоскости дано множество . Найти производную по направлению опорной функции множества A.
5.	Решить выпуклую задачу  
6.	Решить задачу потребителя

где   –  количества двух товаров, . –  заданные цены товаров, 
 –  заданный бюджет потребителя.  – функция полезности двух товаров .
Основной экзамен проводится в устной форме по экзаменационным билетам, состоящим из одного теоретического вопроса и одной задачи. Итоговая экзаменационная оценка определяется с учетом оценки за контрольную и оценки устного ответа по теоретическим вопросам.

Вопросы к экзамену.

  1.  Выпуклое множество.  Элементарные свойства (пересечение, сумма, образ и прообраз, проекция).  Выпуклая оболочка.  Теорема Каратеодори.  Выпуклая оболочка компакта. 
  2.  Внутренность и замыкание выпуклого множества.  Размерность выпуклого множества.  Непустота относительной внутренности выпуклого множества. 
  3.  Теоремы об отделимости (точки от выпуклого множества, двух выпуклых множеств, компакта от выпуклого множества).   Существование опорного функционала в граничной точке выпуклого множества.  
  4.  Поляра множества.  Элементарные свойства.  Ограниченность множества и принадлежность нуля внутренности его поляры.   Поляра эллипсоида.  Теорема о второй поляре.

  5.  Сопряженный конус.  Элементарные свойства.  Теорема о втором сопряженном.  Сопряженный конус к полупространству, к сумме конусов.  
  6.  Крайние точки выпуклого множества.  Теорема Минковского о представлении выпуклого компакта в виде выпуклой оболочки множества своих крайних точек. 
  7.  Теорема Дубовицкого–Милютина о непересечении выпуклых конусов.  Сопряженный конус к пересечению открытых конусов.
 8.  Выпуклые функции.  Определение с помощью надграфика и с помощью неравенства Йенсена.  Сумма и максимум выпуклых функций.   Восстановление функции по ее надграфику.
 9.  Опорная и индикаторная функции множества, функция Минковского и их выпуклость. Полунепрерывные снизу функции.  Замыкание выпуклой функции.   
10.  Критерии выпуклости дифференцируемых и дважды дифференцируемых функций. 
11.  Существование аффинной миноранты у собственной выпуклой функции.  Теорема Минковского о представлении собственной замкнутой выпуклой функции в виде верхней грани аффинных минорант.   
12.  Субдифференциал выпуклой функции в точке.  Теорема Моро--Рокафеллара о субдифференциале суммы выпуклых функций.  
13.  Сублинейные функции и опорные к ним линейные.  Представление сублинейной функции в виде верхней грани своих опорных.   Субдифференциал сублинейной функции в данной точке.  
14.  Ограниченные сублинейные функции.   Теорема Дубовицкого–Милютина о субдифференциале максимума ограниченных сублинейных функций.
15.  Производная выпуклой функции по направлению.  Однородность и выпуклость производной в зависимости от направления.  Совпадение субдифференциала выпуклой функции в точке и субдифференциала ее производной по направлениям.  
16.  Производная по направлению от максимума конечного числа функций.  Теорема Дубовицкого–Милютина о субдифференциале максимума выпуклых функций в точке. 
17.  Сопряженная функция.  Неравенство Юнга.  Классическое преобразование Лежандра.  Сопряженные к сублинейной и к индикаторной функции. 
18. Вторая сопряженная функция.  Теорема Фенхеля–Моро.  
19.  Задача о минимуме выпуклой функции на выпуклом множестве.  Глобальность локального минимума.  Необходимое и достаточное условие минимума.  	
20.  Задача о минимуме выпуклой функции при выпуклых ограничениях.  Теорема Куна–Таккера.   Множители Лагранжа и их экономический смысл.   
21.  Теорема о минимаксе.   
 
ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Экзамен	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Контрольная работа, итоговая контрольная работа	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Экзамен 	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
основные понятия, конструкции и факты выпуклого анализа; 

Уметь:
строго обосновывать математические утверждения; применять свойства выпуклости для анализа и решения задач оптимизации; 

Владеть:
современными средствами выпуклого анализа и теории оптимизации.  	

ОПК-1.Б	
Знать:
основные понятия, конструкции и факты выпуклого анализа; 

Уметь:
строго обосновывать математические утверждения; применять свойства выпуклости для анализа и решения задач оптимизации; 

Владеть:
современными средствами выпуклого анализа и теории оптимизации.   	

ОПК-2.Б	
Владеть:
современными средствами выпуклого анализа и теории оптимизации.  
 	
ПК-2.Б	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:
  
Р. Рокафеллар.  Выпуклый анализ.  М., Мир, 1973.
В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин.  Оптимальное управление.  М., Наука, 1979, Физматлит, 2006. 
Б.Н. Пшеничный.  Выпуклый анализ и экстремальные задачи.  М., Наука, 1980.
Ф.П. Васильев.  Численные методы решения экстремальных задач.  М., 1988 (глава 4).
С.А. Ашманов, А.В. Тимохов.  Теория оптимизации в задачах и упражнениях.  М., Наука, 1991  (глава 3).

Материально-техническкое обеспечение:     аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания - русский.

10. Преподаватели:		профессор факультета ВМК МГУ  А.В. Дмитрук, 
				ассистент факультета ВМК МГУ А.И. Смирнов

11. Авторы программы: 	профессор факультета ВМК МГУ  А.В. Дмитрук,
			       	ассистент факультета ВМК МГУ А.И. Смирнов