Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Динамические системы и биоматематика
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические и компьютерные методы решения задач естествознания
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к базовой части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по курсам «Математический анализ I—IV», «Алгебра и геометрия», «Обыкновенные дифференциальные уравнения» в объеме, соответствующем программе первого и второго годов обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики
ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности 
ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1.	методы исследования устойчивости и  предельного поведения  автономных динамических  систем и основных  типов моделей популяций;
Уметь:
1.	применять на практике приемы исследования динамических систем с учетом вариаций значений входящих параметров;
Владеть:
1.	основами теории бифуркационного анализа.

4. Формат обучения: лекции проводятся с использованием меловой доски.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 3 з.е., в том числе 72 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 36 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.

Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1. Автономные системы  и их свойства.  Лемма о выпрямлении поля	6	2	2	4	2	
2. Теорема Лиувилля о скорости изменения фазового объема.	4	2	2	4	0	
3. Первые интегралы системы.	2	1	1	2	0	
4. Гамильтоновы системы. Фазовые портреты движения одномерной частицы в потенциальном поле.	6	2	2	4	2	
5. Устойчивость по А.М. Ляпунову.	6	2	2	4	2	
6. Теоремы Ляпунова об устойчивости. Теорема об устойчивости по первому приближению.	6	2	2	4	2	
7. Предельные множества и их свойства.	6	2	2	4	2	
8. Теорема Дюлака. Предельные циклы.	2	1	1	2	0	
9. Теорема Бендиксона – Пуанкаре.	2	1	1	2	0	
10. Теория индексов Пуанкаре.	2	1	1	2	0	
11. Функция последования.	2	1	1	2	0	
12. Бифуркация Андронова- Хопфа.	4	1	1	2	2	
13. Достаточные условия возникновения бифуркации Андронова- Хопфа.	6	2	2	4	2	
14. Понятие о центральном многообразии.	4	2	2	4	0	
15. Применение теоремы о центральном многообразии к исследованию устойчивости.	6	2	2	4	2	
16. Модели «Хищник-Жертва Лотка-Вольтерра.	4	2	2	4	0	
17. Математическая модель взаимодействия двух конкурирующих видов.	6	2	2	4	2	
18. Принцип исключения Гаузе. 
Модель «Хищник-Жертва» Гаузе. Трофические функции хищника и жертвы.	6	2	2	4	2	
19. Существование предельных циклов в моделях Холлинга.	4	1	1	2	2	
20. Математическая модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой.	2	1	1	2	0	
21. Существование устойчивого положения равновесия в многомерной системе Лотка-Вольтерра.	6	2	2	4	2	
22. Существование и устойчивость пространственно однородных и пространственно неоднородных  положений равновесия в системе «реакция-диффузия».	6	2	2	4	2	
Промежуточная аттестация: устный экзамен	10	0	0	0	10	
Итого	108	36	36	72	36	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

Список вопросов к экзамену:
Билет №1
 Автономные  динамические системы  и их свойства. 
Билет №2
 Теорема о выпрямлении векторного поля. 
Билет №3
 Теорема Лиувилля о скорости изменения фазового объема. 
Билет №4
 Свойства первых интегралов системы. Фазовые портреты  движения одномерной частицы  под действием потенциальных сил. 
Билет №5
 Устойчивость по А.М. Ляпунову. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.
Билет №6 
 Теорема  Ляпунова- Пуанкаре об устойчивости по первому приближению.
Билет №7
 Предельное поведение автономных динамических систем. Свойства предельных множеств. Теорема Бендиксона-Дюлака об условиях  отсутствия замкнутых траекторий на плоскости.
Билет №8 
Теорема о монотонной функции Ляпунова (теорема Лассаля) и ее следствия. 
Билет №9
 Теорема Бендиксона –Пуанкаре и ее следствия.
Билет №10
 Бифуркация Андронова - Хопфа. Достаточные условия возникновения бифуркации Андронова- Хопфа.
Билет №11
 Математический анализ модели «Хищник-Жертва» Лотка-Вольтерра и модели «Хищник-Жертва» с учетом внутривидовой конкуренции.
Билет №12
  Математический анализ модели взаимодействия двух конкурирующих видов. Принцип исключения Гаузе.
Билет №13
 Математический анализ модели «Хищник-Жертва» Гаузе. Трофические функции хищника и жертвы.
Билет №14
 Математическая модель пищевой цепи. Достаточные условия устойчивости.
Билет №15
 Необходимые условия  существование устойчивого положения равновесия в многомерной системе Лотка-Вольтерра.
Билет №16
Математический анализ  модели циклического соревнования видов.
Билет №17
 Биологические осцилляторы и бифуркация Андронова-Хопфа в системах «Хищник-Жертва» с нелинейными трофическими функциями.
Билет №18
 Математическая модель предбиологической эволюции М. Эйгена. Модели репликации самовоспроизводящихся молекул. Модель независимой и автокаталитической репликации.
Приложение. 
Задания для самостоятельной работы студентов
Провести исследование  нелинейных динамических систем по следующему плану:
1.	пояснить биологический смысл системы;
2.	ввести новые безразмерные переменные, максимально уменьшив число независимых параметров;
3.	найти и исследовать устойчивость неподвижных точек при всех возможных значениях параметров системы;
4.	построить параметрический портрет системы, путем разбиения области значений параметров на области, в которых характер поведения системы является однотипным;
5.	для каждой из областей однотипного поведения системы построить фазовый портрет системы, выделив набор характерных траекторий системы; 
6.	с помощью теоремы Андронова-Хопфа проверить возможность возникновения предельного цикла в системе;
7.	дать биологическую интерпретацию результатам исследования.

Значения всех входящих параметров и фазовых переменных системы полагаются неотрицательными.

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)	
Оценка РО и соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
(устные и письменные опросы и контроль-
ные работы, тесты)	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
(практические контрольные задания) 	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципи-
ального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
(выполнение и защита курсовой работы) 	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

8. Ресурсное обеспечение:
Основная литература: 
1. А.С. Братусь, А.С. Новожилов, А.Н. Платонов   Математические модели экологии и динамические системы. Физматлит,  2010.
2. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Москва. Ижевск, 2003.
Дополнительная литература:
1.  Murray J.D. Mathematical Biology Springer, 2007.
   2. Hofbauer J., Zigmund K. Evolutionary Game and Population Dynamics, Cambridge University Press, 2003.  

Материально-техническое обеспечение:  аудитория с партами и меловой доской.

 9. Язык преподавания:	русский.

10. Преподаватели:  	профессор факультета ВМК МГУ А.С. Братусь

11. Авторы программы:  	профессор факультета ВМК МГУ А.С. Братусь