Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Динамическое программирование и процессы управления
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические методы обработки информации и принятия решений
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к базовой части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по курсам «Математический анализ I—IV», «Алгебра и геометрия», «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Функциональный анализ», «Оптимальное управление», «Многозначный анализ» в объеме, соответствующем программе первого - третьего годов обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики
•	ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности 
•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1.	теоретическую часть курса: определения, постановки задач, способы их решения, 
2.	суть метода динамического программирования, формулировки и доказательства теорем;
Уметь: 
1.	применять метод динамического программирования, метод эллипсоидального оценивания, аппарат базовых математических курсов при решении задач, рассматриваемых в курсе решать задачи по основным темам курса; 
2.	формулировать и ставить задачи таким образом, чтобы их можно было решать методом динамического программирования, решать задачи на нахождение функций цены, множеств достижимости и разрешимости, задачи построения синтеза управлений и другие тематические задачи, рассмотренные в курсе;
Владеть:  
1.	терминологией и инструментарием метода динамического программирования, а также сопутствующим математическим аппаратом.

4. Формат обучения: лекции и семинарские занятия проводятся с использованием меловой доски, при проведении расчетов для вычислительных примеров используется система компьютерной алгебры «Matlab».

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 5 з.е., в том числе 124 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 56 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 
6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.	Введение. Элементы классического вариационного исчисления. Гамильтонов формализм. Задачи управления. Программное и позиционное управление. Примеры. Подход динамического программирования. Задача динамического программирования для гладкого интегрального функционала на конечном интервале времени. Функция цены. Принцип оптимальности. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана.	20	8	8	16	4	
2.	Достаточные условия оптимальности. Теорема о верификации. Связь с Принципом Максимума Понтрягина. Прямое и попятное уравнения Беллмана. Множества достижимости и разрешимости. Их связь с функцией цены.	12	5	5	10	2	
3.	Линейно-квадратичные задачи. Минимизация квадратичных функционалов. Единственность решения. Уравнение Риккати. Аналитический регулятор.  Линейно-квадратичная задача гарантированного оценивания. Информационная функция. Информационное множество.	12	5	5	10	2	
4.	Минимизация интегральных функционалов на бесконечном интервале времени. Автономные системы. Задачи с дисконтированием. Экономическая интерпретация.	24	10	10	20	4	
5.	Линейно-выпуклые задачи. Геометрические ограничения. «Целевое управление». Задача синтеза на конечном промежутке времени. Достижимость и разрешимость. Трубки достижимости и трубки разрешимости. Динамическое программирование и метод экстремального прицеливания. Вычисление функций цены посредством решения двойственных задач выпуклого программирования.	8	3	3	6	2	
6.	Линейно-выпуклые задачи с фазовыми ограничениями. Множества достижимости и разрешимости при фазовых ограничениях. Существование минимизатора в задаче, сопряженной к задаче с фазовыми ограничениями. Эволюционные уравнения для трубок достижимости и разрешимости при фазовых ограничениях. Синтез управления при  фазовых ограничениях	10	4	4	8	2	
7.	Чебышевские функционалы. Задача оценивания с геометрическими ограничениями.  Задача о быстродействии.	10	4	4	8	2	
8.	Линейные системы с неопределенностью. Программный и позиционный минимакс и максимин. Задача о коррекции движения. Конечное число коррекций.	20	8	8	16	4	
9.	Текущий контроль успеваемости: контрольная работа	2	0	0	0	2	
10.	Импульсные управления. Оптимизация линейных систем в классе обобщенных функций. Двойственные задачи. Функция цены. Принцип оптимальности.	10	4	4	8	2	
11.	Вычислительные методы. Эллипсоидальное исчисление: оценки областей достижимости и разрешимости для линейных систем	12	5	5	10	2	
12. Управляемость и наблюдаемость линейных управляемых систем. Двойственность управляемости и наблюдаемости.	14	6	6	12	2	
Промежуточная аттестация: зачет	8	0	0	0	8	
Аттестация: устный экзамен	18	0	0	0	18	
Итого	180	62	62	124	56	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Пример контрольной работы.

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

Вопросы к экзамену (7 семестр) 
1.	Введение в динамическое программирование. Элементы классического вариационного исчисления. Гамильтонов формализм. Задачи управления. Программное и позиционное управление. Примеры. Подход динамического программирования. Задача динамического программирования для гладкого интегрального функционала на конечном интервале времени. Функция цены. Принцип оптимальности. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана.
2.	Достаточные условия оптимальности. Теорема о верификации. Связь с принципом максимума Понтрягина. Прямое и попятное уравнения Беллмана. Множества достижимости и разрешимости. Их связь с функцией цены.
3.	Линейно-квадратичные задачи. Минимизация квадратичных функционалов. Единственность решения. Уравнение Риккати. Аналитический регулятор.
4.	Линейно-квадратичная задача гарантированного оценивания. Информационная функция. Информационное множество.
5.	Минимизация интегральных функционалов на бесконечном интервале времени. Автономные системы. Задачи с дисконтированием. Экономическая интерпретация.
6.	Теория стабилизации.
7.	Линейно-выпуклые задачи. Геометрические ограничения. «Целевое управление». Задача синтеза на конечном промежутке времени. Достижимость и разрешимость. Трубки достижимости и разрешимости. Динамическое программирование и метод экстремального прицеливания. Вычисление функций цены посредством решения двойственных задач выпуклого программирования.

Вопросы к экзамену (8 семестр)
1.	Линейно-выпуклые задачи с фазовыми ограничениями. Множества достижимости и разрешимости при фазовых ограничениях. Существование минимизатора в задаче, сопряженной к задаче с фазовыми ограничениями. Эволюционные уравнения для трубок достижимости и разрешимости при фазовых ограничениях. Синтез управления при фазовых ограничениях.
2.	Чебышевские функционалы. Задача оценивания с геометрическими ограничениями.
3.	Задача о быстродействии.
4.	Линейные системы с неопределенностью. Программный и позиционный минимакс и максимин. Задача о коррекции движения. Конечное число коррекций.
5.	Импульсные управления. Оптимизация линейных систем в классе обобщенных функций. Двойственные задачи. Функция цены. Принцип оптимальности.
6.	Вычислительные методы. Эллипсоидальное исчисление: оценки областей достижимости и разрешимости для линейных систем.
7.	Управляемость и наблюдаемость линейных систем. Двойственность управляемости и наблюдаемости.

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
1.	основы современных методов математической теории управления;
Уметь: 
1.	формулировать и ставить задачи таким образом, чтобы их можно было решать методом динамического программирования, решать задачи на нахождение функций цены, множеств достижимости и разрешимости, задачи построения синтеза управлений и другие тематические задачи, рассмотренные в курсе;	

ОПК-1.Б	
Знать:
1.	принцип работы метода динамического программирования,  принципы постановки и свойства задач, позволяющие использовать для их решения вышеупомянутый метод;
Уметь:  
1.	применять методы динамического программирования для решения прикладных задач;	

ОПК-2.Б	
Владеть:  
1.	современным математическим инструментарием математической теории управления;	
ПК-2.Б	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:
1.	Kurzhanski A.B., Varaiya P. Dynamics and Control of Trajectory Tubes. Birkhäuser, 2014.
2.	Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.:Наука, 1977.
3.	Куржанский А.Б. О синтезе управлений по результатам наблюдений// ПММ, вып. 4, 2004.
4.	Варайя П., Куржанский А.Б. Эллипсоидальные методы для задач динамики и управления// Сов. матем. и ее приложения, Тбилиси, 2005.
5.	Куржанский А.Б. Избранные труды // М.: Издательство МГУ, 2009.

Дополнительная литература: 

1.	Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.:Наука, 1968.
2.	Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.:Наука, 1970.
3.	Kurzhanski A., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Birkhauser, Boston, 1997.
4.	Ellipsoidal Toolbox, http://code.google.com/p/ellipsoids/,	http://lihodeev.com/pubs/2008_ET_Manual.pdf

Материально-техническкое обеспечение: аудитория с партами и меловой доской.

           Пакет прикладных программ Matlab

9. Язык преподавании:	 русский.

10. Преподаватели:		профессор факультета ВМК МГУ, академик академик А.Б. Куржанский, 
доцент факультета ВМК МГУ М.В. Востриков

11. Авторы программы:	профессор, академик академик А.Б. Куржанский