Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Многозначный анализ
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические методы обработки информации и принятия решений
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299) 

1. Дисциплина относится к базовой части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по курсам «Математический анализ I—IV», «Алгебра и геометрия» в объеме, соответствующем программе первого и второго годов обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики
ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности 
ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
основные понятия многозначного анализа и базовые результаты: теоремы о существовании селекторов, основные свойства полунепрерывных отображений, теорию дифференциальных вычислений;
Уметь:  
применять на практике теоретические знания по многозначному анализу к исследованию задач оптимального управления, математической экономики и т. п.;
Владеть: 
навыками исследования при помощи теории многозначных отображений различных математических моделей естествознания.

4. Формат обучения: лекции проводятся с использованием меловой доски.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 4 з.е., в том числе 72 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 72 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.

Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.	Выпуклые множества: основные свойства	4	2	0	2	2	
2.	Выпуклая оболочка множества. Теорема Каратеодори.	6	2	0	4	2	
3.	Выпуклые функции и их надграфики. Критерии выпуклости гладких функций.	6	2	0	4	2	
4.	Замкнутые функции. Непрерывность выпуклых функций и ограниченность. Липшицевость выпуклых функций	4	2	0	2	2	
5.	Отделимость выпуклых множеств.	6	2	0	4	2	
6.	Опорные функции и их свойства.	6	2	0	4	2	
7.	Сопряженные функции. Неравенство Юнга-Фенхеля. Теорема Фенхеля-Моро.	6	2	0	4	2	
8.	Выпуклые конусы. Сопряженные конусы и их свойства. Лемма Фаркаша.	6	2	0	4	2	
9.	Дифференцируемость выпуклых функций.	4	2	0	2	2	
10.	Субдифференциалы выпуклых функций. Теорема Моро-Рокафеллара.	6	2	0	4	2	
11.	Минимизация выпуклых функций. Теорема Куна-Таккера.	4	2	0	2	2	
12.	Пространство замкнутых подмножеств и метрика Хаусдорфа.	6	4	0	4	2	
13.	Многозначные отображения. Полунепрерывные сверху и снизу многозначные отображения.	8	6	0	6	2	
14.	Операции над многозначными отображениями.	6	4	0	4	2	
15.	Измеримые многозначные отображения. Критерий измеримости многозначного отображения. Измеримые селекторы многозначных отображений.	8	6	0	6	2	
16.	Теорема Майкла. Липшицевы многозначные отображения. Центр Штейнера и липшицевы селекторы.	8	6	0	6	2	
17.	Дифференциальные включения. Понятие о решении. Примеры и приложения. Дифференциальные включения и управляемые системы.	8	6	0	6	2	
18.	Теорема существования решения дифференциального включения.	6	4	0	4	2	
Промежуточная аттестация: устный экзамен	18	0	0	0	18	
Аттестация: устный экзамен	18	0	0	0	18	
Итого	144	72	0	72	72	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

Список вопросов к экзамену:
I семестр

Билет №1:	Выпуклые множества: основные свойства.
Билет №2:	Выпуклая оболочка множества. Теорема Каратеодори. 
Билет №3:	Выпуклые функции и их надграфики. Критерии выпуклости гладких функций.
Билет №4:	Замкнутые функции. Непрерывность выпуклых функций и ограниченность. Липшицевость выпуклых функций.
Билет №5:	Отделимость выпуклых множеств.
Билет №6:	Опорные функции и их свойства.
Билет №7:	Сопряженные функции. Неравенство Юнга-Фенхеля. Теорема Фенхеля-Моро.
Билет №8:	Выпуклые конусы. Сопряженные конусы и их свойства. Лемма Фаркаша.
Билет №9:	Дифференцируемость выпуклых функций. Минимизация выпуклых функций. Теорема Куна-Таккера.
Билет №10:	Субдифференциалы выпуклых функций.
Билет №11:	Теорема Моро-Рокафеллара. 
Билет №12:	Опорные функции и их свойства.

II семестр

Билет №1:	Теорема существования решения дифференциального включения.
Билет №2:	Дифференциальные включения. Определение решения лифференциального включения.
Билет №3:	Дифференциальные включения и управляемые системы
Билет №4:	Теорема Майкла.
Билет №5:	Липшицевы многозначные отображения.
Билет №6:	Центр Штейнера и липшицевы селекторы.
Билет №7:	Измеримые селекторы многозначных отображений.
Билет №8:	Полунепрерывные сверху и снизу многозначные отображения.
Билет №9:	Пространство замкнутых подмножеств и метрика Хаусдорфа.
Билет №10:	Измеримые многозначные отображения.
Билет №11:	Полунепрерывные сверху и снизу многозначные отображения.
Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
1.	основы выпуклого и многозначного анализа;
Уметь:
1.	применять основные теоремы выпуклого анализа;

ОПК-1.Б	
Знать:
1. теоретические знания по многозначному анализу к исследованию задач оптимального управления, математической экономики и т. п.;
Уметь:
1. использовать полученные в курсе теоретические знания при решении конкретных прикладных задач;

ОПК-2.Б	
Владеть: 
1. современным математическим инструментарием выпуклого анализа;
	
ПК-2.Б	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература: 
1.	Арутюнов А.В. Лекции по выпуклому и многозначному анализу. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014.
2.	Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 2006.
3.	Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: УРСС, 2011.
4.	Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М., Физматлит, 2008. 

Дополнительная литература:
5.	Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.:Мир, 1973.
6.	Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.:Наука, 1980.
7.	Иоффе А.Д., Тихомиров А.В. Теория экстремальных задач. М.:Наука, 1974.
8.	Варга Д. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. - М.: Мир, 1977.
9.	Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.:Наука, 1985.

Материально-техническкое обеспечение:  аудитория с партами и меловой доской.

 9. Язык преподавания:	русский.

10. Преподаватели:  	профессор факультета ВМК МГУ А.В. Арутюнов

11. Авторы программы:  	профессор факультета ВМК МГУ А.В. Арутюнов