Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Преобразование Лапласа-Фурье
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические методы обработки информации и принятия решений
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299) 

1. Дисциплина относится к базовой части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по курсам «Математический анализ I—IV», «Алгебра и геометрия», «Обыкновенные дифференциальные уравнения» в объеме, соответствующем программе первого и второго годов обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики
•	ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности 
•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1. основные понятия и свойства, связанные с преобразованиями Фурье и Лапласа, способы 	вычисления данных преобразований и обратных к ним в аналитическом виде;

Уметь:
1. корректно описывать математическую модель физического явления, подбирать и 	применять соответствующие преобразования, интерпретировать результаты исследования; 	при необходимости использовать преобразования Лапласа и Фурье в других областях 	математических исследований;

Владеть:
1. навыками решения практических задач при помощи преобразований Лапласа и Фурье.

4. Формат обучения: лекции проводятся с использованием меловой доски.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 2 з.е., в том числе 36 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 36 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.

Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
	
		Лекции	Семинары	Всего		
1.	Аналитические функции, производная и интеграл функции комплексного переменного. Ряд Фурье, интеграл Фурье, его физический смысл.	4	2	0	2	2	
2.	Интегральное преобразование Фурье, его основные свойства. Обращение преобразования Фурье.	4	2	0	2	2	
3.	Преобразование Фурье в теории вероятностей: характеристи-
     ческие функции и их свойства. Применение преобразования Фурье для доказательства интегральной теоремы Муавра-Лапласа.	4	2	0	2	2	
4.	Дискретное преобразование Фурье, его основные свойства. Связь между непрерывным и дискретным преобразованием Фурье. Вычисление непрерывного преобразования Фурье при помощи дискретного. Быстрое преобразование Фурье. Решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами методом Фурье.	10	6	0	6	4	
5.	Интеграл Лапласа и его физический смысл. Интегральное преобразование Лапласа. Связь между преобразованиями Лапласа и Фурье.	8	4	0	4	4	
6.	Основные свойства преобра-
     зования Лапласа. Обращение преобразования Лапласа. Операционное исчисление.	8	4	0	4	4	
7.	Применение преобразования Лапласа для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.	6	2	0	2	4	
8.	Текущий контроль успеваемости: контрольная работа	2	2	0	2	0	
9.	Решение интегральных уравнений типа свертки. Асимптотическое поведение функций и исследование устойчивости.	8	4	0	4	4	
10.	Применение операционного исчисления к процессам в электрических цепях и к задачам механики. Электромеханические аналогии.	6	4	0	4	2	
11.	Частотные методы в теории устойчивости линейных автономных управляемых систем.	4	2	0	2	2	
12.	Текущий контроль успеваемости: контрольная работа	2	2	0	2	0	
Промежуточная аттестация: письменный зачет	6	0	0	0	6	
Итого	72	36	0	36	36	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Типовые задания на контрольных работах:
Контрольная работа №1
Задача 1. Решить следующие дифференциальные уравнения при заданных начальных условиях:
1) формула формула формула
2) формула формулаформулаформула
Задача 2. Решить систему уравнений
формулаформула	формула
Задача 3. Найти матричную экспоненту формула где
формула

Контрольная работа № 2
К цепи, состоящей из емкости С и индуктивности L, соединенных последовательно, в момент времени t = 0 приложена э.д.с. E cos(ωt + α). Начальные ток и заряд равны нулю. Показать, что ток в момент t равен
формула
где формула    предполагается, что формула.

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

Типовой вариант письменной работы на зачете:

Задача 1. Найти преобразование Фурье для функции
формула
Задача 2. Найти изображение по Лапласу для функции
формула
Задача 3. Найти оригинал для изображения
формула
Задача 4. Решить следующие дифференциальные уравнения при заданных начальных условиях:
1) формула формула 
2) формула формулаформулаформула
Задача 5. Найти матричную экспоненту формула где
формула
Задача 6. К цепи, в которую последовательно включены катушка с индуктивностью L, сопротивление R, и конденсатор с емкостью C с начальным током и зарядом, равными нулю, приложена э.д.с., равная  формула при формула и   формула при формула  формула — постоянные. Показать, что при формула ток в цепи равен
формула
где формула и формула причем предполагается, что формула
Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
основные результаты, касающиеся преобразований Лапласа и Фурье;
Уметь:
эффективно проводить расчеты преобразований Лапласа и Фурье;

ОПК-1.Б	
Знать:
о возможных применениях изученных интегральных преобразований;
Уметь:
применять преобразования Фурье и Лапласа для решения прикладных задач;

ОПК-2.Б	
Владеть:
вычислительными методами, связанными с непрерывным и дискретным многомерными преобразованиями Фурье, преобразованием Лапласа в теории управления для исследования устойчивости линейных систем управления с обратной связью;

ПК-2.Б	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:
1.	Л.Шварц. Математические методы для физических наук. М., Мир, 1965, 412 с.
2.	И.Снеддон. Преобразования Фурье. М., ИЛ, 1955, 668 с.
3.	E.O.Brigham. The Fast Fourier Transform and Its Applications. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1988.
4.	Г.Дёч. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М., Наука, 1971, 288 с.
5.	М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. Операционное исчисление. Теория устойчивости: Задачи и примеры с подробными решениями, изд. 5-е. М.: Едиториал УРСС, 2013, 176 с.
6.	М.И.Конторович. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях: Учебное пособие для вузов. М., Советское радио, 1975, 320 с.
7.	Ф.Р.Гантмахер. Лекции по аналитической механике. М., Наука, 1966, 300 с.
8.	Б. Т. Поляк, П. С. Щербаков. Робастная устойчивость и управление. М., Наука, 2002, 303 с.

Дополнительная литература:
 1.	Я.Н.Ройтенберг. Автоматическое управление. М., Наука, 1978, 520 с.
 2.	Е.П.Попов. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для втузов. М., Наука., Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989, 304 с.
 3.	В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. Теория систем автоматического управления. М., Изд. «Профессия», 2004, 752 с.

Материально-техническое обеспечение: аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания - русский.

10. Преподаватели:		доцент факультета ВМК МГУ П.А. Точилин

11. Авторы программы: 	доцент факультета ВМК МГУ И.В. Рублев