Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Теория идентификации
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические методы обработки информации и принятия решений
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к базовой части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по курсам «Математический анализ I—IV», «Алгебра и геометрия», «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Теория вероятностей и математическая статистика» в объеме, соответствующем программе первого и второго годов обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики
•	ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности 
•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1.	основные понятия, задачи и методы теории идентификации и теории стохастического оценивания;
Уметь:  
1.	решать задачи по основным темам курса; 
2.	корректно описывать математическую модель рассматриваемого процесса, ставить для нее задачу оценивания состояния и идентификации неизвестных параметров, 
3.	подбирать и применять адекватные математические методы решения задачи, интерпретировать результаты исследования; 
4.	при необходимости, самостоятельно разрабатывать новые методы решения задачи, опирающиеся на освоенный инструментарий, согласно имеющейся информации;  
5.	использовать идеи и подходы теории идентификации и теории стохастического оценивания в других областях математических исследований;
Владеть:  
1.	навыками решения практических задач теории идентификации, стохастического оценивания, оценки адекватности модели, прогнозирования, управления стохастическими системами;

4. Формат обучения: лекции и семинарские занятия проводятся с использованием меловой доски, при проведении расчетов для вычислительных примеров используется система компьютерной алгебры «Matlab». Для проведения лабораторной работы используются пакеты прикладных программы Statistica и Latex.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 4 з.е., в том числе 88 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 56 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.	Понятие о задаче идентификации.  Задача идентификации с точки зрения теории оценивания.	34	8	4	12	4	
2.	Многомерное гауссовское распределение и его свойства.  Статистические оценки и их свойства. Подходы к построению оптимальных оценок.	10	6	2	8	2	
3.	Текущий контроль успеваемости: контрольная работа № 1	2	0	0	0	2	
4.	Подходы к построению линейных оптимальных оценок для случайных величин с конечным вторым моментом.  Фильтр Калмана.  Детерминированный аналог фильтра Калмана. Задача гарантированного оценивания при энергетических и смешанных ограничениях на помехи.  Задача доверительного оценивания.  Задача точечного и множественного оценивания для систем со смешанной неопределенностью.	52	8	4	12	4	
5.	Методы решение задач фильтрации и сглаживания для линейных динамических систем.  Задача оптимального управления для дискретных линейных динамических систем при стохастической неопределенности.	6	4	2	6	2	
6.	Текущий контроль успеваемости: контрольная работа № 2	2	0	0	0	2	
7.	Стохастические дифференциальные уравнения. Подходы Берштейна и Ито. Стохастические дифференциалы и интегралы Ито и Стратоновича и их свойства. Переход от стохастического дифференциального уравнения к разностному.  Фильтр Калмана-Бьюси.	16	4	2	6	2	
8.	Задача адаптивной идентификации.	38	10	4	14	4	
9.	Текущий контроль успеваемости: контрольная работа № 3	2	0	0	0	2	
10.	Стационарные временные ряды. 	14	6	2	8	2	
11.	Модели АРСС(p,q) и АРПСС(p,d,q).	16	8	4	12	4	
12.	Модели нестационарных временных рядов.	20	8	2	10	2	
13.	Текущий контроль успеваемости: лабораторная работа	2	0	0	0	2	
Промежуточная аттестация: зачет	4	0	0	0	4	
Промежуточная аттестация: устный экзамен	18	0	0	0	18	
Итого	144	62	26	88	56	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Контрольная работа № 1 (середина 7 семестра)
Задача 1 (2 балла). Переменную b измеряют с некоторой ошибкой, не зависящей от b. Найти наилучшую в среднеквадратическом смысле оценку B неизвесной переменной b, если задана функция потерь  G(b,B)=|b—B| и известно, что ошибка измерения имеет распределение хи-квадрат с пятью степенями свободы.
Задача 2 (2 балла).  Дана выборка (x1,...,xn) из распределения Бернулли с вероятностью успеха s. При каком условии на коэффициенты bi,  i=1,…,n, статистика T= Σi=1.2…,nbi xi будет являться несмещенной оценкой параметра s? При каких bi оценка будет эффективной?
Задача 3 (4 балла). Дано уравнение: z=Ax+ ε, где A  --- известная матрица, априори известно, что x и ε — независимы, x  имеет распределение  N(m,R), ε  имеет распредление N(q,  s2*I). Пусть в результате измерений получен вектор z*.
1.	Найти наилучшую в среднеквадратичном смысле оценку вектора x.
2.	Найти ошибку оценивания.
3.	Проверить является ли полученная оценка несмещенной? Асимптотически несмещенной?
4.	Выписать и решить детерминированную задачу, решение которой совпадет с полученной оценкой. 
Задача 4 (3 балла). Задан гауссовский вектор z, Ez = (2,0,0,2,0)’. Его ковариационная матрица имеет вид:

5	3	0	3	-1	
3	8	-3	-5	-2	
0	-3	9	8	4	
3	-5	8	14	3	
-1	-2	4	3	2	

Пусть  x =  (z1,z2), y= (z1,z2,z3). Найти условное математическое ожидание и условную дисперсию x при заданном y, выписать условную плотность x при y=(2, -1, -1)'. 
Задача 5 (1 балл). Пусть A и B — обратимые матрицы, А и B – квадратные, С – произвольная матрица. Пусть матрица A + CBC' обратима, показать что  (A + CB C') -1 = A-1 - A-1C(B-1+C'A-1C)-1C'A-1.

Контрольная работа № 2 (конец 7 семестра)
Задача 1 (1 балл). Дана динамическая система:
x1(k+1) = x1(k) + 4x2(k), x1(0) = b1, k =1,…,n.
x2(k+1) = 3x1(k) + 2x2(k), x2(0) = b2, k =1,…,n.
Определить, при каких значениях b1, b2 система идентефицируема.
Задача 2 (7 баллов). Пусть в стандартные  условия задачи фильтрации для схемы «шагаем—мерим» внесены следующие изменения: уравнение динамики имеет вид xk+1 =Akxk+Bk uk, где uk — известные управляющие параметры, Ak, Bk — заданные матрицы, ошибки в уравнении динамики отсутствуют wk=0, k=0,..., N-1. Известно, что ошибки наблюдения для всех k=1,..., N имеют ненулевые математические ожидания Evk= vk, vk ---известные векторы, Dvk=Nk, Nk — известные симметричные, положительно определенные матрицы.
1.	(1 балл) Сформулировать задачу фильтрации для этого случая.
2.	(1 балл) Выписать решение задачи в этом случае --- рекуррентные формулы для нахождения решения задачи и ковариационной матрицы ошибок оценивания.
3.	(1 балл) Сформулировать детерминированный аналог задачи фильтрации, для чего ввести подходящую меру неопределенности.
4.	(1 балл) Пусть на меру неопределенности предыдущей задачи наложено ограничение, известно, что она не превосходит m2. Сформулировать задачу множественного оценивания неизвестного состояния системы по N измерениям.
5.	(1 балл) Выписать решение задачи множественного оценивания.
6.	(1 балл) Сформулировать задачу доверительного оценивания,с заданным уровнем доверия 0,95.
7.	(1 балл) Выписать решение задачи доверительного оценивания.
Задача 3 (4 баллов). Дана динамическая система
x1(k+1) = -x2(k), 
x2(k+1) =x1(k) + u(k) + w2(k), 
y(k) = x2(k) +2v(k), k =0,1.
Векторы x(0), w(1), v(0), v(1) независимы в совокупности; Ex(0) = (1,2); Dx(0) = (2, 0; 0 3); Ew(k) = (0,1); Ev(k) = 1, Dw(k) = (1 0; 0 1), Dv(k) = 1. Решить задачи
1.	(2 балла) фильтрации;
2.	 (1 балл) прогнозирования на один шаг вперёд;
3.	(1 балл) сглаживания состояния.
Задача 4 (3 балла). Дано стохастическое разностное уравнение xk+1 = Akxk + Bkuk+wk, где wk — белый шум с единичной дисперсией, Ex0 = m, Dx0 = R0. Определить оптимальную стратегию управления в классе функций uk, зависящих от xk-1, мимимизирующих следующую функцию потерь: l =E (xn’Q0xn + Σi=1.2…,n xi’Q1xi + ui’Q2ui). Матрицы Q0, Q1,Q2 заданы. Определить соответствующее значение функции потерь. 
 
Контрольная работа № 3 (середина 8 семестра)
Задача 1 (2 балла). Пусть w(t) – винеровский процесс с единичной дисперсией, параметры a,b заданы. Найти решение СДУ dYt = [(b-Yt) /(1-t)]dt + dwt, Y0 = a. 
Задача 2 (1 балл). Найти стохастическое дифференциальное уравнение для Xt c начальным условием в 0 для процесса Xt = (c sin(wt), d cos(wt)), где c,d —известные константы, wt – винеровский процесс. 
Задача 3 (1 балл). Переписать уравнение из формы Стратоновича в форму Ито: dXt = 2sin(Xt)cos(Xt)dt + (t2 + cos(Xt))dwt.
Задача 4 (3 балла). Рассматривается одномерный процесс, dXt = dw, X0 = 0. Уравнение наблюдений имеет вид: dYt = Xtdt + det, где wt, et — стандартные винеровские процессы. Наблюдения заданы на отрезке [0,t], причем Y0 = 0. Найти линейную оценку, оптимальную в среднеквадратичном смысле (выписать уравнение Риккати. Найти его решение. Выписть дифференциальное уравнение для оптимальной оценки и найти его решение.)
Задача 5 (3 балла). Рассмотрим задачу стохастического управления dXt = cudt + udw, X0 = x > 0, где wt — стандартный винеровской процесс, с — константа.  Пусть задан критерий качества, E(XT)r, 0<r<1, который мы хотим максимизировать по u. Выписать соотвествующее уравнение ГЯБ, выразить оптимальное управление, подставить его в ГЯБ, предположить, что функция цены имеет вид f(t)xr, найти f(t) и оптимальное управление. 
Задача 6 (2 балла).  Дано стохастическое дифференциальное уравнение
dx1 = ax2dt,
dx2 = bdv,
 и уравнение наблюдения  dy = x1dt + det, где  a,b — заданные положительные константы v(t), e(t) — винеровские процессы с единичной дисперсией. Выписать выборочный вариант этой системы.
Лабораторная работа (8 семестр)
Тема: Анализ временных рядов и прогнозирование.
Моделирование
В приложении содержится список моделей временных рядов. Нужно выбрать модель временного ряда по номеру студента в группе на сайте кафедры. Далее нужно выписать разностное уравнение модели. Определить сколько у модели параметров. Задача состоит в изучении модели в зависимости от значения параметров. План исследования:
1.	Определить условия на параметры, при которых модель будет стационарна и обратима. Выбрать не менее трех различных наборов параметров, стараясь охватить наиболее показательные случаи поведения модели.  Выбор параметров необходимо обосновать.
2.	Смоделировать временные ряды, отвечающий вашей модели и выбранным наборам параметров и присвоить значения этих рабов заданным переменным.
3.	Построить график и проанализировать полученный временной ряд.
4.	Произвести прогнозирование при помощи полученной модели на разумное количество шагов вперед.

Анализ реальных данных
Для анализа самостоятельно выбирается временной ряд. Желательно, чтобы он содержал интервенции. Временной ряд анализируется по схеме, предложенной в книгах [4] (основной список) (глава 5) или [6] (дополнительный список) (главы 2-4), или в презентации [7] (дополнительный список).
Анализ содержит следующие этапы:
1.	 Определить наличие интервенций, моменты интервенций и их тип.
2.	Исследовать ряд на стационарность (автоковариационная функция, сезонная компонента).
3.	Привести ряд к стационарному виду (удаление тренда и т.п.). Все модели детерминированных составляющих нужно сохранить и вставить в отчет.
4.	Анализ стационарного ряда, определение порядков АР и СС сезонных и не сезонных.
5.	Идентификация по стационарному ряду моделей АРСС или АРПСС или их сезонных аналогов (подобрать не менее 3-х моделей и выписать для них разностные уравнения, подставить оцененные программой параметры). Мотивированный выбор оптимальной модели, проверка адекватности модели (анализ остатков).
6.	Прогнозирование на основе выбранной модели.
7.	Добавление прогноза к исходному ряду.
8.	Построение прогноза пригодной для вашего ряда модификацией метода экспоненциального сглаживания и сравнение его с ранее полученным прогнозом.
Результатом работы должен явиться отчет, состоящий из двух частей, набранный в LaTeX и содержащий все этапы анализа и необходимые иллюстрации.
Приложение. Список моделей.
1.	АРПСС(0,1,1)
2.	CАРПСС(0,0,1,1,0,0) порядок сезонности 6
3.	АР(2)
4.	АРПСС(1,1,0)
5.	CАРПСС(1,0,1,1,0,0) порядок сезонности 10
6.	СС(2)
7.	CАРПСС(2,0,0,1,0,1) порядок сезонности 12
8.	АРПСС(1,2,0)
9.	CАРПСС(1,0,0,1,0,0) порядок сезонности 7
10.	АРСС(1,1)
11.	АРПСС(1,1,1)
12.	CАРПСС(1,0,0,1,0,0) порядок сезонности 10
13.	АРПСС(2,1,0)
14.	АРСС(1,2)
15.	АРСС(2,1)
16.	АРПСС(0,2,1)
17.	CАРПСС(1,0,0,1,0,0) порядок сезонности 8
18.	АРПСС(2,1,1)
19.	CC(3)
20.	AP(3)

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

Вопросы к экзамену (7 семестр) 
Часть 1
1.	Задача идентификации с точки зрения теории оценивания. Условная плотность и связанные с ней точечные оценки.
2.	Понятие функции штрафа. Ограничения на условную плотность и функцию штрафа, при которых условное математическое ожидание дает решение задачи оптимизации.
3.	Виды оценок в зависимости от доступной априорной информации. Байесовские оценки и оценки минимального риска.
4.	ОМП и ее свойства. Достижимая точность ОМП. Неравенство Рао-Крамера.
5.	Связь между различными видами оценок неизвестного скалярного параметра системы y(i)=bu(i)+e(i), i=1,...,n, при гауссовских некоррелированных помехах.
6.	Многомерное гауссовское распределение и его свойства.
7.	Геометрическая интерпретация теорем о многомерном нормальном распределении.
8.	Линейная оценка, оптимальная в среднеквадратическом смысле. Гарантированный аналог этой оценки.
9.	Гауссовско-марковская оценка и ее свойства. Гарантированный аналог этой оценки. ОНК и ее свойства.

Часть 2
1.	Понятие состояния динамической системы. Фильтр Калмана.
2.	Управляемость, наблюдаемость и идентифицируемость динамической системы. Установившийся фильтр Калмана.
3.	Устойчивость фильтра Калмана.
4.	Детерминированный аналог фильтра Калмана. Задача гарантированного оценивания для системы с раздельными ограничениями на помехи.
5.	Задача точечного и доверительного оценивания для динамической системы со смешанной неопределенностью.
6.	Задача доверительного оценивания. Понятие условно-доверительной области.
7.	Адаптивная идентификация на примере решения задачи оценивания неизвестного состояния и параметров билинейной системы.
8.	Задачи прогнозирования и сглаживания. Методы их решения.
9.	Задача управления дискретной стохастической системой. Случай полной информации. Интерпретация составляющих минимального значений функции потерь.
10.	Задача управления дискретной стохастической системой. Случай неполной информации. Интерпретация составляющих минимального значений функции потерь.

Вопросы к зачету (8 семестр)
Часть 3
1.	Понятие состояния для систем с непрерывным временем.
2.	Понятие стохастического интеграла. Интегралы Ито и Стратоновича и их свойства.
3.	Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения. Правило дифференцирования Ито.
4.	Линейное стохастическое дифференциальное уравнение.
5.	Переход к разностному уравнению.
6.	Задача оценивания для линейного стохастического дифференциального уравнения. Фильтр Калмана-Бьюси.
7.	Задача управления линейной непрерывной стохастической системой. Оптимальное управление и минимальные средние потери при различной информации о системе.
8.	Пример решения задачи управления линейной непрерывной стохастической системой. Задача конструирования стохастического регулятора.
9.	Пример решения задачи управления линейной непрерывной стохастической системой. Выбор оптимального портфеля.
10.	Распространение фильтра Калмана на решение нелинейных задач. Три класса задач для которых возможно решение в аналитическом виде.
11.	Распространение фильтра Калмана на решение нелинейных задач. Приближенные методы.
12.	Фильтр Калмана для модели с переключениями. Использование модели с переключениями для приближенного решения нелинейных задач. Методы отбрасывания и перемешивания.
Часть 4
1.	Определение временного ряда. Стационарные временные ряды. Автоковариационная функция и спектральная плотность и их свойства.
2.	Статистические оценки автокорреляционной функции – коррелограмма и спектральной плотности – периодограмма. Спектральные окна – зачем они нужны. Примеры спектральных окон.
3.	Параметрические модели стационарных временных рядов. Общая линейная модель и ее свойства. Способы представления ОЛМ.  Прогнозирование по ОЛМ.
4.	Модели АРСС(p,q). Автокорреляционная  функция, частная автокорреляционная функция и их свойства. Характеристическое свойство автокорреляционной функции стационарных временных рядов. Определение порядков моделей по авторорреляционной и частной автокорреляционной функциям.
5.	Модель АРПСС(p,d,q). Способы представления этой модели. Примеры.
6.	Модели нестационарных временных рядов. Преобразование шкалы. Модель интервенции.
7.	Тренд и циклическая компонента. Параметрические и непараметрические методы выделения тренда и тренд-циклической компоненты.
8.	Сезонная компонента и способы ее оценивания. Сезонная декомпозиция. Процессы САРСС.
9.	Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания. Одно-, двух- и трехпараметрические модели.
10.	ARCH и GARCH модели. Решение задач идентификация и прогнозирование для этих моделей.

Предусмотрено три контрольные работы: по одной в середине каждого из двух семестров и одна в конце 7 семестра. Каждая из контрольных работ проводится по завершении изучения очередного раздела (для разделов с 1 по 3) по окончании изучения четвертого раздела выдается лабораторная работа. Время на выполнение контрольных работ — 2 академических часа. Контрольные работы содержат по шесть задач, каждая задача оценивается исходя из максимального количества баллов, которые можно за нее получить.
Студенты набравшие более 2/3 максимально возможного количества баллов освобождаются от решения задачи по соответствующей теме на экзамене или зачете. Лабораторная работа содержит два задания, для ее выполнения студентам необходимо использовать ППП Statistica и Latex. Каждое задание оценивается по принципу зачет-незачет.
В конце 7 семестра проводится экзамен в письменно-устной форме. Задание каждого студента на экзамене включает:
1.	ответ (с предварительной подготовкой) на три теоретических вопроса (в соответствии с приведенным выше списком вопросов): первый вопрос выбирается из 1 части, второй из 2 части;
2.	решение задач по темам 1-2 контрольных (в случае освобождения по результатам контрольной от задачи по одной или нескольким темам, соответствующие задачи на экзамене решать не нужно);
3.	ответы на несколько дополнительных вопросов по определениям и формулировкам основных теорем из курса.

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
1.	основы классических и современных математических задачах теории идентификации и теории  стохастического оценивания;
2.	роль и место изучаемых подходов в теории идентификации и теории  стохастического оценивания, прогнозирования и теории управления;
Уметь:
1.	решать задачи по основным темам курса;

ОПК-1.Б	
Знать:
1.	области приложений изучаемых методов, научится правильно выбирать метод решения,  основываясь на априорной и текущей информации о системе;
Уметь:  
1.	корректно описывать математическую модель рассматриваемого процесса, ставить для нее задачу оценивания состояния и идентификации неизвестных параметров;

ОПК-2.Б	
Владеть:  
1.	современным математическим инструментарием, в том числе: построением байесовских оценок; построением линейных оптимальных в среднеквадратическом смысле оценок; методами фильтрации, сглаживания и прогнозирования; методами управления стохастическими системами;

ПК-2.Б	
8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература
1.	Эйкхофф П. «Основы идентификации и систем управления».  М: Мир, 1975.
2.	Острем К. «Введение в стохастическую теория управления».  М: Наука, 1973.
3.	Оксендаль Б. «Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения». М: Мир, 2003.
4.	Боровиков В. П., Ивченко Г.И. «Прогнозирование в системе Statistica в среде Windows». М.: Финансы и статистика, 2000.

Дополнительная литература
1.	Льюнг Л. «Идентификация систем. Теория для пользователя».  М: Наука, 1991. 
2.	Сейдж Э.Г., Мелса Дж. Л. “Идентификация систем управления”. М: Наука, 1974.
3.	Schweppe F. C. “Uncertain dynamic systems”. Prenfice-Hall, Englewood Cliffs, 1973.
4.	Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. “Асимптотическая теория оценивания”. М.:Мир, 1975.
5.	 Аоки М. “Оптимизация стохастических систем”. М.:Наука, 1971. 
6.	Баласанов Ю.Г., Дойников А.Н., Королева М.Ф., Юровский А.Ю. “Прикладной анализ временных рядов с программой Эвриста”. М.: Диалог МГУ, 1997.
7.	Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. “Анализ данных на компьютере”. М.: Инфра-М, 2002.
8.	http://www.statsoft.ru/home/  

Материально-техническкое обеспечение:

аудитория с партами и меловой доской.

           Пакеты прикладных программ Matlab, Statistica, Latex

9. Язык преподавания:	русский.

10. Преподаватели:  		доцент факультета ВМК МГУ И.В. Востриков 

11. Авторы программы:  	доценты факультета ВМК МГУ И.А. Дарьина, И.В. Востриков.