Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Теория устойчивости
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические методы обработки информации и принятия решений
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к базовой части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по курсам «Математический анализ I—IV», «Алгебра и геометрия», «Обыкновенные дифференциальные уравнения» в объеме, соответствующем программе первого и второго годов обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики
ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности 
ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1.	основные понятия, задачи и методы теории устойчивости движения;

Уметь:  
1.	корректно описывать математическую модель физического явления, ставить для нее задачу исследования устойчивости движения, подбирать и применять адекватные математические методы для исследования устойчивости, интерпретировать результаты исследования; 
2.	при необходимости, самостоятельно разрабатывать новые методы исследования устойчивости; 
3.	использовать идеи и подходы из теории устойчивости в других областях математических исследований;

Владеть:  
1.	навыками решения практических задач теории устойчивости.

4. Формат обучения: лекции и семинары проводятся с использованием меловой доски.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 2 з.е., в том числе 52 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 20 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.

Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.	Основные понятия теории устойчивости. Концепция невозмущенно-возмущенного движения.	3	1	2	3	0	
2.	Устойчивость линейных стационарных систем.	5	2	2	4	1	
3.	Первый метод Ляпунова. Устойчивость линейных нестационарных систем.	5	2	2	4	1	
4.	Второй метод Ляпунова. Устойчивость нелинейных стационарных систем. Функции Ляпунова.	5	2	2	4	1	
5.	Устойчивость потенциальных систем.  Влияние на устойчивость диссипативных   и гироскопических  сил.	5	2	2	4	1	
6.	Устойчивость нелинейных нестационарных систем. Равномерная устойчивость. 	5	2	2	4	1	
7.	Теоремы обращения. Условия существования функций Ляпунова.	3	2	0	2	1	
8.	Устойчивость систем с запаздыванием. Функционалы Красовского.	5	2	2	4	1	
9.	Текущий контроль успеваемости: контрольная работа	2	0	0	0	2	
10.	Принцип сравнения. Векторные функции Ляпунова.	3	1	2	3	0	
11.	Устойчивость решений дифференциальных включений.	5	2	2	4	1	
12.	Основы проксимального анализа. Негладкие функции Ляпунова.	5	2	2	4	1	
13.	Устойчивость систем с кусочно-линейной структурой. Кусочно-квадратичные функции Ляпунова.	5	2	2	4	1	
14.	Использование функций Ляпунова для исследования продолжаемости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений.	5	2	2	4	1	
15.	Устойчивость разностных систем. 	5	2	2	4	1	
Промежуточная аттестация: устный экзамен	6	0	0	0	6	
Итого	72	26	26	52	20	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Типовое задание на контрольной работе содержит 5 задач:
1.	Исследовать на устойчивость и асимптотическую устойчивость заданную, конкретную нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи первого метода Ляпунова, за счет линеаризации правой части.
2.	Исследовать на устойчивость и асимптотическую устойчивость заданную, конкретную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
3.	Методом функций Ляпунова исследовать на асимптотическую устойчивость заданную нелинейную стационарную систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
4.	Для заданных нелинейной системы и функции Ляпунова исследовать вопрос об устойчивости / асимптотической устойчивости в зависимости от параметров, входящих в функции из правой части системы, а также в функцию Ляпунова.
5.	Для заданной механической потенциальной системы выписать уравнения ее движения, выражение для потенциальной энергии, найти положения равновесия и исследовать их на устойчивость.

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.
Список теоретических вопросов, выносимых на экзамен:
1.	Понятие устойчивости по Ляпунову и Лагранжу, асимптотической устойчивости. Необходимые и достаточные условия устойчивости линейных стационарных систем. Алгебраические и графические условия устойчивости.
2.	Характеристические показатели Ляпунова, их основные свойства. Нормальные и правильные системы. Приводимые системы, теорема Еругина. Достаточные условия асимптотической устойчивости.
3.	Первый метод Ляпунова. Теорема об устойчивости по первому приближению. Теорема о неустойчивости по первому приближению.
4.	Устойчивости линейных систем с периодическими коэффициентами (теория Флоке). 
5.	Второй метод Ляпунова для стационарных систем. Знакопостоянные и знакопеременные функции. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Оценки области допустимых возмущений и времени переходного процесса.
6.	Теорема Красовского об асимптотической устойчивости. Теоремы о неустойчивости.
7.	Устойчивость линейных стационарных систем дифференциальных уравнений. Квадратичные функции Ляпунова. Методы поиска функций Ляпунова. 
8.	Устойчивость потенциальных систем. Теорема Лагранжа. Влияние на устойчивость диссипативных и гироскопических сил.  
9.	Устойчивость нелинейных нестационарных систем. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Теоремы о неустойчивости.
10.	Равномерная устойчивость обыкновенных дифференциальных уравнений. Асимптотическая устойчивость, равномерная по t (x, t и x).
11.	Устойчивость в целом. Теорема Барбашина-Красовского. Экспоненциальная устойчивость.
12.	Проблемы существования функции Ляпунова. Теоремы обращения.
13.	Устойчивость систем с запаздыванием.
14.	Асимптотическая устойчивость решений системы с переменной, кусочно-линейной структурой. Кусочно-квадратичные функции Ляпунова.
15.	Устойчивость решений дифференциальных включений. Применение негладких функций Ляпунова.
16.	Устойчивость взаимосвязанных систем. Векторные функции Ляпунова. Применение аппарата функций Ляпунова для исследования продолжаемости решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
17.	Устойчивость дискретных процессов. Линейный случай. Применение функций Ляпунова. Достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости. Понятия равномерной устойчивости, сходимости, асимптотической устойчивости. Экспоненциальная устойчивость дискретных процессов. 

Уровень освоения студентами программы курса оценивается во время экзамена в письменно-устной форме. Задание каждого студента на экзамене включает
•	ответ (с предварительной подготовкой) на один теоретический вопрос (в соответствии с приведенным выше списком вопросов);
•	решение задачи на исследование устойчивости для конкретного примера; 
•	ответы на несколько дополнительных вопросов по определениям и формулировкам основных теорем из курса.

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
1.	основные факты о классических и современных математических задачах теории устойчивости;
2.	роль и место изучаемых подходов в теории динамических систем, теории управления и механике;

Уметь:  
1.	формулировать и ставить задачи исследования динамических систем на устойчивость;	

ОПК-1.Б	
Знать:
1.	связи между проблемами исследования устойчивости и некоторыми задачами теории управления;

Уметь:
1.	применять методы теории устойчивости для решения прикладных задач;

ОПК-2.Б	
Владеть:  
1.	современным математическим инструментарием, в том числе методом функций и функционалов Ляпунова, основами негладкого (проксимального) анализа;	

ПК-2.Б	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:
1.	Демидович Б.П., Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Лань, 2008.
2.	Малкин И.Г., Теория устойчивости движения. – М.: Едиториал УРСС, 2010.
3.	Барбашин Е.А., Введение в теорию устойчивости. – М.: Либроком, 2012.
4.	Барбашин Е.А., Функции Ляпунова. – М.: Либроком, 2012.
5.	Меркин Д.Р., Введение в теорию устойчивости движения. – М.: Лань, 2003.

Дополнительная литература:
1.	Былов  Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. -М.: Наука, 1966.
2.	Зубов В.И. Устойчивость движения. -М.: Высшая школа, 1973.
3.	Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. -М.: Физматгиз, 1959.
4.	Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. - М.: Мир, 1964.
5.	Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 
6.	Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1980. 
7.	Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. -М.: Наука, 1986. 
8.	Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости.  -М.: Мир, 1980.
9.	Четаев Н.Г. Устойчивость движения. -М.: Наука, 1965.
10.	Clark F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P.R., Nonsmooth analysis and control theory. – Springer, 1998.

Материально-техническое обеспечение:  аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания:	русский.

10. Преподаватели:  	доцент факультета ВМК МГУ П.А. Точилин

11. Авторы программы:  	доцент факультета ВМК МГУ П.А. Точилин