Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета
ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова
академик ___________________________________
«___»_____________ 2019 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)

Наименование дисциплины (модуля):
Случайные процессы

Уровень высшего образования: 
бакалавриат

Направление подготовки (специальность): 
01.03.02 Прикладная математика и информатика

Направленность (профиль) ОПОП:
дисциплина относится к вариативной части программы

Форма обучения:
очная 

Рабочая программа рассмотрена и одобрена  
Методической комиссией факультета
 (протокол №  ____ от  «___»_____________ 201__ г)

Москва 20___

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ бакалавриата, магистратуры, реализуемых последовательно по схеме интегрированной подготовки по направлениям 01.03.02, 01.04.02 «Прикладная математика и информатика» в редакции приказа МГУ от 30 декабря 2016 г.

Год (годы) приема на обучение 2011-2018 

1. Дисциплина относится к вариативной части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу, линейной алгебре и теории вероятностей и математической статистики в объеме, соответствующем программе первого и второго года обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики
•	ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности 
•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1.	методологию вывода и анализа основных моделей для описания динамики стохастических систем;
2.	основные классы случайных процессов и их основные свойства;
3.	свойства и методы анализа цепей Маркова с дискретным и непрерывным временем;
4.	основные понятия случайного анализа и методы решения линейных стохастических дифференциальных уравнений;
5.	основные свойства и методы анализа стационарных процессов;
6.	основные задачи о наилучшей линейной оценке для случайных процессов и методы их решения. 

Уметь:  
1.	применять на практике общую теорию и методы решения основных задач для случайных процессов;
2.	вычислять основные числовые характеристики случайных процессов;
3.	находить стационарное распределение и решать уравнения Колмогорова для переходных вероятностей цепей Маркова;
4.	анализировать аналитические свойства случайных процессов в рамках корреляционной теории;
5.	решать линейные стохастические дифференциальные уравнения;
6.	анализировать свойства основных классов стационарных процессов и вычислить их числовые характеристики;
7.	решать основные типы задач о наилучшей линейной оценке (интерполяция, прогноз, фильтрация). 

Владеть:  
1.	навыками анализа случайных процессов в рамках корреляционной теории;
2.	навыками анализа цепей Маркова с дискретным и непрерывным временем;
3.	основными методами анализа линейных преобразований случайных процессов;
4.	навыками решения основных задач о наилучшей линейной оценке для случайных процессов.

4. Формат обучения: лекции проводятся с использованием меловой доски.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 2 з.е., в том числе 36 академических часов, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 36 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.	Понятие о случайном процессе. Система конечномерных распределений. Теорема Колмогорова. 	4	2		2	2	
2.	Классификация случайных процессов (Процессы с независимыми приращениями. Стационарные процессы. Корреляционная теория. Марковские процессы. Мартингалы. Винеровский и пуассоновский процессы.)  	6	4		4	2	
3.	Цепи Маркова с дискретным временем: основные понятия, классификация состояний, стационарное распределение, предельные теоремы. 
Цепи Маркова с непрерывным временем: основные понятия, вложенная цепь Маркова, уравнения Колмогорова, стационарное распределение, предельные теоремы. Процессы рождения и гибели. Ветвящиеся процессы. 	8	6		6	2	
4.	Элементы случайного анализа: непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость случайных процессов.  	4	2		2	2	
5.	Стохастический интеграл от неслучайных функций. Линейные стохастические дифференциальные уравнения. 	6	4		4	2	
6.	Спектральное представление стационарных процессов.	4	2		2	2	
7.	Линейные преобразования стационарных случайных процессов.	6	4		4	2	
8.	 Задачи о наилучшей линейной оценке и их классификация. Решение задачи о линейном прогнозе для стационарных процессов. 	6	4		4	2	
9.	Выделение сигнала из смеси с белым шумом. Задача прогноза для диффузионного процесса.  	4	2		2	2	
10.	Линейная фильтрация: методы Винера и Калмана-Бьюси.	6	4		4	2	
11.	Итоговая контрольная работа	4	2		2	2	
Промежуточная аттестация: зачет	14				14	
Итого	72	36		36	36	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Итоговая контрольная работа  	
Вариант 1
1. $\xi (t)=A_1 e^t +A_2 e^{-t} ,$ где $A_1$ и $A_2$-независимы,
$MA_1 =MA_2 =0$, $D(A_1 )=2, D(A_2 )=4$. Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию такого случайного процесса.
2. Для процесса $\xi (t)$ из задачи 1 определим с.в. $\eta_1 =\int_0^1
\xi (t) dt,$ $ \eta_2 =\int_0^2 \xi (t)dt$. Найти: $M\eta_1 ,\ M\eta_2 ,
\ D(\eta_1 ),\ D(\eta_2 ),\ cov(\eta_1 ,\eta_2 )$.
3. $d\eta (t)$-стандартный белый шум, $\xi_1 =\int_0^1 e^t d\eta (t),\
\xi_2 =\int_0^1 e^{2t} d\eta (t). $ Найти $cov(\xi_1 ,\xi_2 )$.
4. Случайный процесс $\xi (t)$ удовлетворяет стохастическому дифференциальному 
уравнению 
$$
d\xi (t)=\cos (t) \xi (t)dt+d\eta (t),\ t\geq 0 \ , \xi (0) = \xi_0 \ .
$$
Найти общий вид решения этого уравнения. 
5. Некоторый стрелок стреляет по мишени. В начале стрельбы вероятность попадания в цель равна 0.9. В дальнейшем, если он попал в предыдущий раз, то вероятность попадания остается равной 0.9, если промахнулся, то вероятность попадания понижается 
до 0.8. 
Вычислить: 1) вероятность попадания в мишень при третьем выстреле, 
2) вероятность попадания в мишень при очередном выстреле, когда уже произведено 
большое число выстрелов.	Вариант 2
1. Случайный процесс $\xi (t)$ имеет среднее 0 и корреляционную функцию $\cos (t-s)$. Найти kорреляционную функцию для процесса
$\eta (t)=\xi (t)+\xi '(t).$
2. Доказать, что случайный процесс $\xi (t)=\cos (\omega t+\phi )+
\sin (\omega t+\phi ),$ где $\omega =const$, а $\phi$ имеет равномерное на $[0,2\pi ]$ распределение, является стационарным в широком смысле.
3. $d\eta (t)$-стандартный белый шум, $\xi_1 =\int_0^1 td\eta (t),\
\xi_2 =\int_0^1 t^2 d\eta (t). $ Найти $cov(\xi_1 ,\xi_2 )$.
4. Случайный процесс $\xi (t)$ удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению 
$$
d\xi (t)= - t \xi (t)dt+d\eta (t),\ t\geq 0 \ , \xi (0) = \xi_0 \ .
$$
Найти общий вид решения этого уравнения. 
5. Пусть цепь Маркова с непрерывным временем имеет два состояния и следующую матрицу интенсивностей перехода 
$$
\left( 
\begin{tabular}{cc}
-2 & 2 \\
3  & -3 
\end{tabular}
\right)
$$
Используя уравнения Колмогорова, найти вероятности перехода $P_{ij} (t), t\geq 0$.	
ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Контрольная работа, зачет
 	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
 	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:
1.	Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. – М. Наука, 1977. – 569 с. 
2.	Миллер Б.Н., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 320 с. 
3.	Хохлов Ю.С., Захарова И.В. Теория случайных процессов. – Тверь, ТвГУ, 2015. – 123 с. 
  
Дополнительная литература:
1.	Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. В 3-х томах. – М.: Наука, 1971. 
2.	Розанов Ю.А.  Введение в теорию случайных процессов. – М.: Наука, 1982. – 128 с. 
3.	Карлин С. Основы теории случайных процессов. – М.: Мир, 1971. – 536 с. 
4.	Круглов В.М. Случайные процессы. В 2-х частях. – М.: Юрайт, 2019. 

Информационные справочные системы:  https://elibrary.ru/item.asp?id=25493140/
	
Материально-техническкое обеспечение:  аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания - русский.

10. Преподаватели:  профессор факультета ВМК МГУ Ю.С. Хохлов

11. Авторы программы:  профессор факультета ВМК МГУ Ю.С. Хохлов