Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Вероятностные модели
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические методы обработки информации и принятия решений
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к вариативной части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу и теории вероятностей в объеме, соответствующем программе первых двух лет обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):
•	ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики
•	ОПК-2.Б Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности 
•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1.	основные системные задачи и проблемы, решаемые в рамках аналитики процессов, протекающих в условиях неопределенности;
2.	основные понятия и наиболее важные задачи, решаемые в рамках прикладных исследований, связанных со статистическим анализом данных;
3.	основные методы анализа случайных процессов, описывающих реальные процессы и явления.

Уметь:  
1.	строить вероятностные модели типовых задач анализа и обработки данных, проводить спецификацию задачи, и разрабатывать практические алгоритмы для решения этих задач;
2.	применять на практике методы статистического анализа к задачам физики, социологии, финансовой математики и других разделов науки и техники;
3.	решать базовые задачи анализа и проверки гипотез и разрабатывать процедуры принятия решений на основе этих методов.

Владеть:  
1.	навыками оптимального выбора методов и параметров при решении задач анализа и обработки данных;
2.	ключевыми методами решения задач статистического анализа данных;
3.	навыками оптимального выбора методов и параметров при решении задач анализа случайных процессов, описывающих реальные процессы и явления.
4. Формат обучения: лекции проводятся с использованием меловой доски.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 2 з.е., в том числе 36 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 36 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
Тема 1. Основные понятия прикладной теории вероятностей 
Стохастические ситуации.

Классические вероятностные модели: дискретные вероятностные модели, геометрические вероятностные модели
Парадокс Бертрана 
Формальное определение вероятностной модели
Независимые события. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Случайные величины: распределения и числовые характеристики случайных величин и их свойства. Меры зависимости случайных величин.	6	4	-	4	2	
Тема 2. Основные предельные теоремы теории вероятностей 

Законы больших чисел.

Теорема Пуассона.

Центральная предельная теорема.

Устойчивые и безгранично делимые распределения. Теоремы Леви и Хинчина.	9	6	-	6	3	
Тема 3. Энтропийный (информационный) подход к построению вероятностных моделей

Случайные процессы.

Информация и энтропия.

Пуассоновский процесс как модель дискретного хаоса. 

Принципы выбора моделей в рамках энтропийного подхода.	12	8	-	8	4	
Тема 4. Случайные суммы

Элементарные свойства случайных сумм.

Пуассоновские и геометрические случайные суммы. Теорема Реньи.

Теорема переноса.	9	6	-	6	3	
Тема 5. Смешанные вероятностные модели

Случайные блуждания с дискретным и непрерывным временем.

Обобщенные процессы Кокса. Центральная предельная теорема и закон больших чисел для обобщенных процессов Кокса.

Смеси вероятностных распределений. Идентифицируемость. 
Островершинность масштабных смесей нормальных законов.
Устойчивость нормальных смесей относительно смешивающего распределения.

Моделирование распределений приращений финансовых индексов	18	12	-	12	6	
Зачет	18				18	
Итого	72	36		36	36	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)
Вопросы для индивидуального собеседования на устном экзамене.
1.	Условия адекватности применимости вероятностных моделей
2.	Определение вероятностного пространства
3.	Определение условной вероятности
4.	Формула полной вероятности
5.	Формула Байеса
6.	Определение случайной величины
7.	Определение и свойства функции распределения
8.	Определение математического ожидания. Формулы для вычисления в дискретном и абсолютно непрерывном случаях
9.	Определение квантили функции распределения случайной величины
10.	Определение моды случайной величины в дискретном и абсолютно непрерывном случаях
11.	Определение дисперсии случайной величины. Формулы для вычисления в дискретном и абсолютно непрерывном случаях
12.	Определение интерквартильного размаха
13.	Определение независимости n событий
14.	Определение независимости случайных величин
15.	Определение ковариации и корелляции 
16.	Формулировка теоремы Муавра-Лапласа.
17.	Формулировка усиленного закона больших чисел для независимых одинаково распределенных случайных величин
18.	Формулировка центральной предельной теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин
19.	Неравенство Берри-Эссеена
20.	Формулировка условия Линдеберга
21.	Формулировка теоремы Пуассона
22.	Определение устойчивого распределения
23.	Формулировка теоремы Леви
24.	Определение безгранично делимого распределения
25.	Формулировка теоремы Хинчина
26.	Определение информации (по Шеннону)
27.	Определение энтропии эксперимента. Основные свойства энтропии
28.	Определение дифференциальной энтропии абсолютно непрерывной случайной величины
29.	Формулировка теоремы о распределениях с наибольшей дифференциальной энтропией
30.	Определение случайного процесса. Определения процессов с независимыми приращениями и однородных процессов
31.	Определение пуассоновского процесса
32.	Формулировка информационных свойств пуассоновского процесса
33.	Формулировка центральной предельной теоремы для пуассоновского процесса
34.	Определение и основные свойства случайных сумм
35.	Геометрическая случайная сумма. Формулировка теоремы Реньи
36.	Формулировка теоремы переноса для нецентрированных случайных сумм
37.	Формулировка теоремы переноса для центрированных случайных сумм
38.	Формулировка аналога теоремы Пуассона для случайных сумм случайных индикаторов
39.	Определение смеси распределений
40.	Определение идентифицируемого семейства смесей
41.	Определение неоднородного пуассоновского процесса
42.	Определение дважды стохастического пуассоновского процесса
43.	Определение обобщенного процесса Кокса
44.	Формулировка центральной предельной теоремы для обобщенных процессов Кокса
45.	Формулировка критерия сходимости одномерных распределений обобщенных процессов Кокса к строго устойчивым законам
46.	Формулировка закона больших чисел для обобщенных процессов Кокса
47.	Определение коэффициента эксцесса. Свойство коэффициента эксцесса масштабных смесей нормальных законов
48.	Оценка равномерного расстояния между смесями нормальных законов через равномерное расстояние между смешивающими распределениями.
49.	Определение расстояния Леви
50.	Оценка расстояния Леви между вырожденным распределением и двухточечным смешивающим распределением через расстояние Леви между чистым нормальным законом и двухкомпонентной смесью нормальных законов (масштабная смесь)
51.	Оценка расстояния Леви между вырожденным распределением и двухточечным смешивающим распределением через расстояние Леви между чистым нормальным законом и двухкомпонентной смесью нормальных законов (сдвиговая смесь)
Примерные контрольные задания для аттестации.
КЗА1.
1.	Определение вероятностного пространства.
2.	Неравенство Берри-Эссеена.
3.	Определение дифференциальной энтропии абсолютно непрерывной случайной величины.
4.	Определение обобщенного процесса Кокса
5.	Случайная величина принимает значения 1, 4, 5 и 8 с вероятностями 1/2, 1/4, 1/8 и 1/8 соответственно. Найти ее энтропию.

КЗА2.
1.	Определение и свойства функции распределения.
2.	Формулировка усиленного закона больших чисел для независимых одинаково распределенных случайных величин.
3.	Формулировка информационных свойств пуассоновского процесса.
4.	Определение дважды стохастического пуассоновского процесса.
5.	Найти дифференциальную энтропию случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение.
КЗА3.
1.	Определение независимости случайных величин.
2.	Формулировка теоремы Пуассона.
3.	Формулировка теоремы переноса для центрированных случайных сумм.
4.	Определение идентифицируемого семейства смесей.
5.	Найти коэффициент эксцесса случайной величины, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 2.

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Экзамен	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Экзамен	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципи-ального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Экзамен	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
основные системные задачи и проблемы, решаемые в рамках аналитики процессов, протекающих в условиях неопределенности;

Уметь:  
применять на практике методы статистического анализа к задачам физики, социологии, финансовой математики и других разделов науки и техники;

Владеть:  
навыками оптимального выбора методов и параметров при решении задач анализа и обработки данных.

ОПК-1.Б	
Знать:
основные понятия и наиболее важные задачи, решаемые в рамках прикладных исследований, связанных со статистическим анализом данных;

Уметь:  
применять на практике методы статистического анализа к задачам физики, социологии, финансовой математики и других разделов науки и техники;

Владеть:  
ключевыми методами решения задач статистического анализа данных.

ОПК-2.Б	
Знать:
основные методы анализа случайных процессов, описывающих реальные процессы и явления; 

Уметь:  
решать базовые задачи анализа и проверки гипотез и разрабатывать процедуры принятия решений на основе этих методов;

Владеть:  
навыками оптимального выбора методов и параметров при решении задач анализа случайных процессов, описывающих реальные процессы и явления.

ПК-2.Б	
8. Ресурсное обеспечение:
Основная литература
1.	В.Ю. Королев. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Изд-во Проспект. 2006.
2.	В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир. 1984.
3.	В.Ю. Королев, В.Е. Бенинг, С.Я. Шоргин. Математические основы теории риска. М.: Физматлит. 2007.
4.	В.Ю. Королев. Вероятностно-статистические методы декомпозиции волатильности хаотических процессов. М.: Изд-во МГУ. 2011.
Дополнительная литература
1.	Гнеденко Б.В., Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988.
2.	Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука. 1983.
3.	Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высш. шк. 1984.
4.	Гихман И.И., Скороход А.В., Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука. 1977.

Информационные справочные системы:

1)	https://elibrary.ru/
2)	http://mathworld.wolfram.com/ 

Материально-техническкое обеспечение:

аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания - русский.

10. Преподаватели:

профессор факультета ВМК МГУ О.В. Шестаков.

11. Авторы программы:

профессора факультета ВМК МГУ В.Ю. Королев, О.В. Шестаков.