Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Методы решения сеточных уравнений
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические и компьютерные методы решения задач естествознания
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к вариативной части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу и линейной алгебре в объеме, соответствующем программе первого года обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля): ОПК-1.Б 

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:

1.	общую теорию построения  прямых и итерационных  методов решения линейных сеточных уравнений;
2.	основные эффективные алгоритмы решения сеточных уравнений. 

Уметь:
  
1.	применять на практике общую теорию и методы решения линейных сеточных уравнений, аппроксимирующих краевые задачи для дифференциальных уравнений.

4. Формат обучения: лекции проводятся с использованием меловой доски.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 4 з.е., в том числе 72 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 72 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.

Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.	Решение сеточных уравнений в замкнутом виде.	18	12		12	6	
2.	Прямые методы решения СЛАУ со структурированными разреженными матрицами 	12	8		  8	4	
3.	Прямые методы длярешения систем с блочно-трехдиагональными матрицами.	 8	6		  6	2	
4.	Быстрые прямые методы для специальных классов сеточных уравнений. 	16	10		10	6	
5.	Итерационные методы решения линейных сеточных  уравнений, использующие априорную информацию и минимизирующие норму  разрешающего оператора.	16	10		10	6	
6.	Итерационные методы проекционного типа,  минимизирующие норму  погрешности.	18	12		12	6	
7.	Итерационные методы решения систем уравнений  с вырожденной  матрицей. 	12	 8		 8	4	
8.	Предобуславливание как средство  повышения эффективности итерационных методов. Примеры построения  предобуславливателей.  	 8	 6		 6	2	
Промежуточная аттестация: устный экзамен	36				36	
Итого	144	72		72	72	

Вопросы к экзамену.

1.	Решение сеточных уравнений в замкнутом виде. Линейно-независимые решения однородного уравнения и методы их нахождения. Критерий линейной независимости решений. Теорема об общем решении однородного уравнения.
2.	Теорема о решении неоднородного уравнения. Метод вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородного сеточного уравнения.
3.	Решение сеточных уравнений m-го и 2-го порядков с постоянными коэффициентами.
4.	Полиномы Чебышева первого и второго рода как решения сеточных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
5.	Метод монотонной прогонки для решения систем с трехдиагональной  матрицей. Теорема о корректности и устойчивости метода.
6.	Проблема выбора главного элемента. Алгоритм метода немонотонной прогонки для решения систем с трехдиагональной матрицей.
7.	Метод прогонки для решения систем с циклической трехдиагональной матрицей. Теорема о корректности и устойчивости метода.
8.	Метод матричной прогонки для решения систем со структурно-симметричной ленточной матрицей.
9.	Метод матричной прогонки для решения систем с блочно-трехдиагональной матрицей в общем случае. Теорема о корректности и устойчивости метода
10.	 Метод редукции для решения систем с блочно-теплицевой матрицей специального  вида. Устойчивый алгоритм.   
11.	Постановка спектральных задач для симметризуемых матриц, спектральное разложение некоторых матриц Якоби.
12.	Быстрый прямой метод решения матричного уравнения A1 Y + Y A2T = F, использующий спектральное разложение матриц A1 и A2.
13.	Быстрый прямой метод решения матричного уравнения A1 Y + Y A2T = F, использующий спектральное разложение матрицы A2.
14.	Марш-алгоритм для решения систем с трехдиагональной матрицей. Оценка вычислительной сложности метода и проблема вычислительной устойчивости метода.
15.	Основные понятия теории итерационных методов,  методы полиномиального типа, сходимость и число итераций. Две постановки задачи о построении наилучших итерационных методов.
16.	Итерационные методы, основанные на минимизации нормы разрешающего оператора. Итерационный метод простой итерации в случае самосопряженного и несамосопряженного операторов. Оценки скорости сходимости.
17.	Итерационный метод Чебышева в самосопряженном положительно определенном случае. Обоснование метода, оценка скорости сходимости, неулучшаемость оценки.
18.	Алгоритмы реализации метода  по трехслойной и двухслойной итерационным схемам. Проблема вычислительной устойчивости для двухслойной схемы.
19.	Итерационный метод с чебышевскими параметрами в случае самосопряженного незнакоопределенного оператора.
20.	Итерационные методы вариационного типа, оценка скорости сходимости, неулучшаемость оценки и асимптотическое свойство метода в самосопряженном положительно определен ном случае. Примеры методов.
21.	Итерационные методы проекционного типа, основанные на минимизации нормы погрешности. Основная теорема для методов проекционного типа,  оценка скорости сходимости, лемма о конечном числе итераций.
22.	 Построение первого и второго семейства  методов проекционного типа.
23.	Построение методов сопряженных направлений в самосопряженном случае (двучленные формулы и трехслойная схема). Примеры методов.
24.	Разрешимость уравнения с вырожденным оператором, понятие обобщенного и нормального решений, постановка задачи выбора итерационных параметров в методах полиномиального типа.
25.	Итерационный метод  чебышевского типа для решения уравнений с самосопряженным не неотрицательным оператором. Реализация метода по трехслойной и двухслойной схемам.
26.	Итерационный метод типа сопряженных невязок для  уравнений с самосопряженным неотрицательным оператором. Реализация метода по двучленным формулам и трехслойной схеме.
27.	Предобуславливание как способ повышения эффективности итерационных методов. Треугольные итерационные методы, выбор итерационного параметра и оценка скорости сходимости.
28.	Треугольные итерационные методы, выбор параметра и оценка скорости сходимости.
29.	Предобуславливатель попеременно-треугольного типа, выбор итерационного параметра, оценка скорости сходимости. Эффективный алгоритм реализации метода Чебышева с предобуславливателем попеременно-треугольного типа.

Экзаменационный билет состоит из двух вопросов. 

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  
	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Экзамен
	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)
	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
1.	общую теорию построения  прямых и итерационных  методов решения линейных сеточных уравнений;
2.	основные эффективные алгоритмы решения сеточных уравнений. 

Уметь:  
1.	применять на практике общую теорию и методы решения линейных сеточных уравнений, аппроксимирующих краевые задачи для дифференциальных уравнений. 

ОПК-1.Б	
8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:
  
1.	Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: МАКС Пресс, 2018. 
2.	Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука,  1978. (http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/numerics.htm)
3.	Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. - М.: Научный мир. - 2000. 

Дополнительная литература:

1.	Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. – М.: Мир, 2001. 
2.	Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. - М.:. Мир, 1984.
3.	Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. - М.: Наука, 1989.
4.	Ольшанский М.А. Лекции и упражнения по многосеточным методам. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

Материально-техническое обеспечение:  аудитория с партами и меловой доской, наличие литературы в библиотеке учебных пособий.

9. Язык преподавания - русский.

10. Преподаватель: вед. научн. сотр. факультета ВМК МГУ Е.С. Николаев.

11. Автор программы:  вед. научн. сотр. факультета ВМК МГУ Е.С. Николаев.