Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Векторные и тензорные модели
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические и компьютерные методы решения задач естествознания
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к вариативной части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу, линейной алгебре, дифференциальным уравнениям, уравнениям в частных производных и численным методам в объеме, соответствующем программе первых трех лет обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-2.Б. Способность применять и модифицировать математические модели, а также интерпретировать полученные математические результаты при решения задач в области профессиональной деятельности.
•	ПК-2.Б. Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат.

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1.	основы построения векторных и тензорных моделей современной науки и владеть ключевыми операциями векторного и тензорного анализа применительно к постановке задач и исследованию их общих важных свойств.

Уметь:
1.	применять на практике векторный и тензорный анализ, к задачам механики, электродинамики и других разделов современной физики и смежных с ней наук.

Владеть:
1.	навыками по решению прикладных научных и практических задач.

4. Формат обучения: лекции проводятся с использованием меловой доски в потоковых аудиториях.

 5. Объем дисциплины (модуля) составляет 4 з.е., в том числе 64 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 80 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося, часы	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.	Векторный анализ.	21	12	0	12	9	
2.	Основные соотношения геометрии евклидова пространства в аффинном базисе. Понятие тензора.	21	12	0	12	9	
3.	Криволинейные координаты в евклидовом пространстве. Скаляры, векторы и тензоры в криволинейных координатах и действия над ними.	21	12	0	12	9	
4.	Дифференцирование тензоров.	21	12	0	12	9	
5.	Ортогональные криволинейные координаты. Представление векторов и тензоров в этих координатах.	12	8	0	8	4	
6.	Уравнения линейной теории упругости и динамики вязкой сжимаемой жидкости.	12	8		8	4	
Аттестация: экзамен	36				36	
Итого	144	64	0	64	80	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Вопросы к экзамену.

1) Основные операции векторного анализа и их свойства. 
2) Построение векторного поля по его вихрю и расхождению. 
3) Законы сохранения на подвижных многообразиях. 
4) Уравнения гидродинамики, Максвелла и диффузии.
5) Метрические матрицы. Ко- и контравариантное представление вектора и связь между ними. 
6) Элементарные операции с векторами. 
7) Дискриминантные матрицы. Векторное и смешанное произведение векторов. 
8) Преобразование компонент вектора, метрической и дискриминантной матрицы при замене базиса. Понятие тензора. Метрический и дискриминантный тензор.
9) Криволинейные координаты в евклидовом пространстве. 
10) Преобразование векторов сопутствующего базиса и компонент приращения радиус-вектора в криволинейных координатах.
11) Преобразование векторов взаимного базиса и компонент вектора градиента в криволинейных координатах. 
12) Преобразование метрических и дискриминантных матриц при замене координат. 	
13) Тензор в криволинейных координатах (тип и ранг тензора; метрический и дискриминантный тензор в ко- и контравариантной форме; операции с тензорами и их свойства; операции свертки). 
14) Теоремы деления тензоров. 
15) Эквивалентные тензоры. Интерпретация тензора как полилинейной векторной формы.
16) Дифференцирование базисных векторов сопутствующего и взаимного базисов криволинейной системы координат. Символы Кристофеля. 
17) Ковариантное дифференцирование векторов.
18) Ковариантное дифференцирование тензора второго ранга. Ковариантные производные метрического тензора. 
19) Ковариантное дифференцирование тензоров общего вида. Свойства ковариантного дифференцирования. Повторное дифференцирование. Контравариантное представление производной. 
20) Основные операции векторного анализа в произвольных криволинейных координатах. 
21) Дивергенция тензора в различных формах.
22) Ортогональные криволинейные координаты. Коэффициенты Ламе. Физические компоненты векторов и тензоров. 
23) Основные операции векторного и тензорного анализа в ортогональных криволинейных координатах. 
24) Уравнение Навье-Стокса в рамках ортогональных координатах.
25) Общая форма уравнения движения сплошной среды. Тензор напряжений и его симметрия. 
26) Линейная теория упругости. Тензор малых деформаций и его свойства. Связь с тензором напряжений. 
27) Уравнения движения и энергии в линейной теории упругости. 
28) Тензоры скоростей деформаций и вязких напряжений в вязкой жидкости. Связь между ними. Коэффициенты первой и второй вязкости. 
29) Уравнение энергии вязкой жидкости. 
30) Уравнение Навье-Стокса в общей ковариантной форме.

Задачи к экзамену

1) Преобразовать выражение: .
2) Преобразовать выражение: .
3) Преобразовать выражение: .
4) Преобразовать выражение: .
1) Преобразовать выражение: .
5) Преобразовать выражение: .
6) Преобразовать выражение: .
7) Преобразовать выражение: .
8) Преобразовать выражение: .
9) Преобразовать выражение: .
10) Выписать  в сферических координатах.
11) Выписать  в цилиндрических координатах.
12) Выписать  в сферических координатах.
13) Выписать  в цилиндрических координатах.
14) Выписать  в сферических координатах.
15) Выписать  в цилиндрических координатах.

Экзаменационный билет состоит из одного вопроса и задачи, например

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова
факультет ВМК	
Экз. билет №16
Наименование дисциплины  ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ МОДЕЛИ

1. Уравнение Навье-Стокса в общей ковариантной форме.
2. Преобразовать выражение: .

	Зав. кафедрой	

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  
	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Экзамен	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Экзамен 	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Экзамен 	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)
	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать основы построения векторных и тензорных моделей современной науки и владеть ключевыми операциями векторного и тензорного анализа применительно к постановке задач и исследованию их общих важных свойств.
Уметь применять на практике векторный и тензорный анализ, к задачам механики, электродинамики и других разделов современной физики и смежных с ней наук. 
             Владеть навыками по решению прикладных научных и практических задач.	

ОПК-2.Б	
Знать теоретические методы и подходы к построению актуальных моделей различных задач математической физики.
 Уметь применять изученный аппарат для выполнения преобразования, направленных на упрощения различных  обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, с целью изучения основных свойств исследуемых моделей.
Владеть навыками применения изученных теорем для исследования моделей различных задач математической физики.	
ПК-2.Б	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература:

1. Карпов В.Я., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Векторные и тензорные модели. Часть 1. – М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова, МАКС Пресс, 2009. – 120с.
2. Карпов В.Я., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Векторные и тензорные модели. Часть 2. – М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова, МАКС Пресс, 2010. – 119с.

Дополнительная литература:

1. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. – М.: Изд-во “Наука”, 1978. – 296с.
2. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Издание девятое. – М.: Изд-во “Наука”, 1965. – 424с. 
3. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. – М.: Высшая школа, 2001. – 575с.
4. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. – М.: Изд-во МФТИ, 2000. – 240с.
5. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. – М.: Изд-во Московского университета, 1986. – 264с.

Материально-техническкое обеспечение: аудитория с партами и меловой доской, наличие литературы в библиотеке учебных пособий.

9. Язык преподавания: 	русский.

10. Преподаватели:  		доцент факультета ВМК МГУ А.Б.Хруленко

11. Авторы программы:  	доцент факультета ВМК МГУ А.Б.Хруленко