Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Функциональный анализ и вычислительная математика
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические и компьютерные методы решения задач естествознания
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к вариативной части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по дисциплинам «Математический анализ», «Алгебра и геометрия», «Комплексный анализ», в объеме, соответствующем программе первого и второго годов обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат
•	СПК-ФАиВМ-1.Б Способность понимать и применять методы функционального анализа при построении, анализе и приложениях численных методов. 

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):
Знать:
1.	основные виды функциональных пространств 
2.	теорию компактных множеств в метрических пространствах;
3.	постановку основных экстремальных задач теории приближений;
4.	основные характеристики наилучших приближений;
5.	принцип сжатых отображений;
6.	определения и свойства линейных операторов и квадратичных функционалов;
7.	общую теорию итерационных методов, чебышевские итерационные методы;
8.	методы дифференцирования и интегрирования нелинейных операторов.
Уметь:  
1.	применять основные понятия функционального анализа при построении, анализе и приложениях численных методов;
2.	решать основные экстремальные задачи теории приближений;
3.	находить собственные значения и собственные элементы операторов различного типа;
4.	пользоваться приближенными методами Галеркина и Ритца и их реализацией в методе конечных элементов;
5.	пользоваться итерационными методами и оценивать их сходимость;
6.	дифференцировать и интегрировать нелинейные операторы;
Владеть:  
1.	базовыми знаниями в области численного анализа и методами их использования в профессиональной деятельности;
2.	методами функционального анализа при решении задач теории приближений, построении конечно-элементных методов решения краевых задач и итерационных методов решения операторных уравнений, 

4. Формат обучения: лекции и семинарские занятия проводятся с использованием меловой доски.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 5 з.е., в том числе 68 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 112 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 
6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
5 семестр	
1. Функциональные пространства и задачи теории приближений	27	18		18	9	
2. Линейные операторы и функционалы в банаховых пространствах	27	18		18	9	
Зачет	18				18	
Всего в 5 семестре   (3 зач. ед)	72	36			36	
6 семестр	
Линейные операторы и функционалы в эвклидовых и унитарных пространствах	36	16			20	
Итерационные методы решения операторных уравнений	36	16			20	
Экзамен	36	0			36	
Всего в 6 семестре   (3 зач. ед)	108	32			76	
Итого по дисциплине	180	72			112	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

Перечень контрольных вопросов для сдачи экзамена:
5 семестр	
Метрические пространства	
Компактные множества	
Основные задачи теории приближений	
Принцип сжатых отображений	
Линейные, нормированные, банаховы,  гильбертовы  пространства 	
Наилучшее приближение, ряд Фурье в гильбертовом пространстве	
Экстремальные задачи в нормированном и гильбертовом пространствах	
Многочлены Чебышева и их свойства	
Линейные операторы в банаховом пространстве	
Пространства линейных операторов 	
Обратные операторы, операторные уравнения	
Спектральный радиус. Ряд Неймана. Теорема о возмущениях.	
Принцип равномерной ограниченности	

6 семестр	
Линейные функционалы и сопряженное пространство	
Теоремы Рисса, Хана-Банаха. Оптимизация квадратур. Принцип двойственности	
Сопряженные, самосопряженные, симметричные  операторы	
Собственные значения и функции самосопряженных операторов	
Квадратичные функционалы и обобщенные решения операторных уравнений	
Вариационные методы минимизации квадратичных функционалов	
Компактные операторы	
Пространства Соболева.Теоремы вложения	
Вариационные уравнения .Теорема Вишика-Лакса-Мильграма	
Обобщенные решения краевых задач для эллиптического уравнения	
Общая теория итерационных методов	
Сходящиеся методы и их оптимизация	
Чебышевские одношаговые методы	
Чебышевские двухшаговые методы	
Чебышевские методы для уравнений с симметризуемыми операторами	

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  
	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Экзамен
	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
зачет
	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципи-ального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Зачет, экзамен
	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

					
Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)
	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
- основные виды функциональных пространств 
Уметь:
- применять основные понятия функционального анализа при построении, анализе и приложениях
численных методов
Владеть:
- базовыми знаниями в области численного анализа и методами их использования в профессиональной деятельности;
  	
ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат	
Знать:
- теорию компактных множеств в метрических пространствах;
- постановку основных экстремальных задач теории приближений;
- основные характеристики наилучших приближений;
- принцип сжатых отображений;
- определения и свойства линейных операторов и квадратичных функционалов;
- общую теорию итерационных методов, чебышевские итерационные методы;
- методы дифференцирования и интегрирования нелинейных операторов.
Уметь:
- решать основные экстремальные задачи теории приближений;
- находить собственные значения и собственные элементы операторов различного типа;
- пользоваться приближенными методами Галеркина и Ритца и их реализацией в методе конечных элементов;
- пользоваться итерационными методами и оценивать их сходимость;
- дифференцировать и интегрировать нелинейные операторы;
Владеть:
- методами функционального анализа при решении задач теории приближений, построении конечно-элементных методов решения краевых задач и итерационных методов решения операторных уравнений,   
	
СПК-ФАиВМ-1.Б Способность понимать и применять методы функционального анализа при построении, анализе и приложениях численных методов. 
	
8. Ресурсное обеспечение:

	Основная литература.
1.Лебедев В.И.  Функциональный анализ и вычислительная математика — М. Наука , 2000.
	Дополнительная литература.
	1.Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа  М.  Высшая школа, 1981
	2.Смирнов В.И.,  Лебедев Н.А., Конструктивная теория функций комплексного переменного,
	М. Наука, 1964.
3.Владимиров В.С. Уравнения математической физики  -- М.  Наука, 1971.
4.Марчук Г.И., Лебедев В.И.  Численные методы в теории переноса нейтронов. -- М. Атомиздат,  1981.
	5.Канторович Л.В.,  Акилов В.А.  Функциональный анализ — М. Наука, 1977
6.Треногин В.А.  Функциональный анализ — М. Наука, 1980
7.Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по  функциональному  анализу  — М. Наука, 1984.
8.Коллатц  Функциональный анализ и вычислительная математика — М. Мир, 1969.

9. Язык преподавания - русский.

10. Преподаватели:  профессор факультета ВМК МГУ А.Б.Богатырев 

11. Авторы программы:  профессор факультета ВМК МГУ А.Б.Богатырев