Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Математические методы численного анализа
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические и компьютерные методы решения задач естествознания
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299) 

1. Дисциплина относится к вариативной части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по дисциплинам «Математический анализ», «Алгебра и геометрия», «Комплексный анализ», в объеме, соответствующем программе первого и второго годов обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	СПК-ММЧА-1.Б Способность понимать и применять фундаментальные знания в области численных методов. 

Знать:
1. основные методы аппроксимации функций
2. методы численного интегрирования;
3. методы численного решения нелинейных дифференциальных уравнений;
4. методы численного решения интегральных уравнений;
5. методы оценки сходимости решений.

Уметь:  
1. применять основные методы численной аппроксимации функций, численного интегрирования, численного решения дифференциальных и интегральных уравнений;
2. производить оценку точности получаемых численных решений

Владеть:
1. базовыми знаниями в области численного анализа и методами их использования в профессиональной деятельности;

4. Формат обучения: лекции и семинарские занятия проводятся с использованием меловой доски.

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 3 з.е., в том числе 36 академических часов, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 72 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 
6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1. Проблема собственных значений. Степенной метод. 	6	2		2	2	
2. Приближение функций. Полиномиальная интерполяция. 	12	2		2	2	
3. Сходимость интерполяционного процесса. Алгебраические и тригонометрические полиномы. 	6	4		4	2	
4. Сплайны. Вариационное свойство естественных сплайнов. 	12	2		2	2	
5. Минимизация нормы. Равномерные приближения. 	6	2		2	2	
6. Метод наименьших квадратов. Ортогональные полиномы..	6	2		2	2	
7. Численное интегрирование. Интерполяционные квадратурные формулы. 	12	4		4	4	
8. Нелинейные уравнения. Метод простой итерации. 	6	2		2	2	
9. Методы минимизации. 	6	2		2	2	
10. Квадратичные функционалы и линейные системы. Минимизация на подпространствах и проекционные методы. 	6	2		2	2	
11. A-норма и A-ортогональность. Метод сопряженных градиентов. Метод Арнольди и метод Ланцоша..	6	4		4	2	
12. Сходимость метода сопряженных градиентов. 	6	2		2	2	
13. Интегральные уравнения. Функциональные пространства и свойства интегральных операторов. 	6	2		2	2	
14. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Метод Галеркина. 	6	2		2	4	
15. Интегральные уравнения и структурированные матрицы. 	6	2		2	4	
Экзамен					36	
Итого по дисциплине (3 зач. ед)	108	36		36	72	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

Перечень контрольных вопросов для сдачи экзаменов по дисциплине:

1. Проблема собственных значений. Степенной метод. Итерации подпространств. QR-алгоритм. QR-алгоритм со сдвигами. Глобальная сходимость. Квадратичная и кубическая сходимость. Организация вычислений. Как найти сингулярное разложение.
2. Приближение функций. Полиномиальная интерполяция. Интерполяционный полином Лагранжа. Погрешность лагранжевой интерполяции. Разделенные разности. Формула Ньютона. Разделенные разности с кратными узлами. Обобщенные интерполяционные условия. Таблица разделенных разностей.
3. Сходимость интерполяционного процесса. Алгебраические и тригонометрические полиномы. Проекторы, связанные с рядами Фурье. Интерполяционные проекторы для чебышевских сеток.
4. Сплайны. Вариационное свойство естественных сплайнов. Как строить естественные сплайны. Аппроксимационные свойства естественных сплайнов. B-сплайны. Квазилокальность и ленточные матрицы.
5. Минимизация нормы. Равномерные приближения. Полиномы Чебышева. Ряд Тейлора и его дискретный аналог.
6. Метод наименьших квадратов. Ортогональные полиномы. Трехчленные рекуррентные соотношения. Корни ортогональных полиномов. Трехчленные соотношения и трехдиагональные матрицы. Соотношения разделения между корнями. Ортогональные полиномы и разложение Холецкого.
7. Численное интегрирование. Интерполяционные квадратурные формулы. Алгебраическая точность. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Формулы Гаусса. Составные квадратурные формулы. Правило Рунге для оценки погрешностей. Как интегрировать "плохие" функции.
8. Нелинейные уравнения. Метод простой итерации. Сходимость и расходимость метода простой итерации. Оптимизация метода простой итерации. Метод Ньютона и эрмитова интерполяция. Многомерный вариант метода Ньютона. Прямая и обратная интерполяция. Сравнение метода секущих и метода касательных.
9. Методы минимизации. Метод Ньютона. Релаксация. Дробление шага. Существование и единственность точки минимума. Градиентный метод с дроблением шага. Метод скорейшего спуска. Быстрое вычисление градиента. Понятие об овражном методе, методе сопряженных направлений, квазиньютоновских методах, релаксационном методе "глобализации" сходимости.
10. Квадратичные функционалы и линейные системы. Минимизация на подпространствах и проекционные методы. Подпространства Крылова. Оптимальность подпространств Крылова. Метод минимальных невязок.
11. A-норма и A-ортогональность. Метод сопряженных градиентов. Метод Арнольди и метод Ланцоша. Псевдоскалярное произведение и метод биортогонализации. Квазиминимизация.
12. Сходимость метода сопряженных градиентов. Классическая оценка сходимости и ее уточнения. "Сверхлинейная" сходимость и "исчезающие" собственные значения. Числа Ритца и векторы Ритца. Теорема Вандерслюиса-Вандерворста. Предобусловливание в неэрмитовом и эрмитовом случае. Спектральная эквивалентность и кластеры.
13. Интегральные уравнения. Функциональных пространства и свойства интегральных операторов. Эллиптичность. Уравнение с логарифмическим ядром. Теорема Шо-Ведланда.
14. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Метод Галеркина. Роль строгой эллиптичности. Компактные возмущения. 
15. Интегральные уравнения и структурированные матрицы. Циркулянтные предобусловливатели. Методы быстрого приближенного умножения.

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  
	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Экзамен	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
зачет
	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципи-ального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Зачет, экзамен	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	
Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)
	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
- основные методы аппроксимации функций
- методы численного интегрирования;
- методы численного решения нелинейных дифференциальных уравнений;
- методы численного решения интегральных уравнений;
- методы оценки сходимости решений.

Уметь:  
- применять основные методы численной аппроксимации функций, численного интегрирования, численного решения дифференциальных и интегральных уравнений;
- производить оценку точности получаемых численных решений

Владеть:
- базовыми знаниями в области численного анализа и методами их использования в профессиональной деятельности

СПК-ММЧА-1.Б Способность понимать и применять фундаментальные знания в области численных методов.

8. Ресурсное обеспечение:

	Основная литература.
1.Тыртышников Е.Е.  Матричный анализ и линейная алгебра. М.: Физматлит, 2007, 480 с.
2.Тыртышников Е.Е.  Методы численного анализа. -- М.: Издательский
центр «Академия», 2007, 320 с.

	Дополнительная литература.
1. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков, Численные методы. Наука, 1987.
2. G.H.Golub, Ch. Van Loan, Matrix Computations, The Hopkins University Press, 1989.

9. Язык преподавания - русский.

10. Преподаватели:	профессор факультета ВМК МГУ, акад. Е.Е.Тыртышников, 
			доцент факультета ВМК МГУ Н.Л.Замарашкин 

11. Авторы программы:  профессор факультета ВМК МГУ, акад. Е.Е.Тыртышников