Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Матрицы и вычисления
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические и компьютерные методы решения задач естествознания
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299) 

1. Дисциплина относится к вариативной части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по дисциплинам курсов «Математический анализ», «Алгебра и геометрия», «Комплексный анализ» в объеме, соответствующем программе первого и второго годов обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-1.Б Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики.
•	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат.
•	СПК-МВ-1.Б. Способность понимать, применять и адаптировать основные методы и модели матричных вычислений. 

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1. свойства матриц различных типов;
2. свойства операций над матрицами;
3. вычислительные аспекты операций над матрицами;
4. методы разложения матриц;
5. итерационные методы вычисления матриц;
6. аксиомы машинной арифметики;
7. проблемы сертификации алгоритмов;
8. понятия о последовательных и параллельных вычислениях;
9. параллельные алгоритмы вычисления обратной матрицы;
10. подход В.В.Воеводина к решению проблемы портабельности программного обеспечения.       

Уметь:  
1.	 применять численные методы к вычислению матриц различного типа;
2.	 вычислять характеристический полином матрицы;
3.	 абстрагироваться от несущественных влияний при моделировании реальных физических ситуаций;
4.	 оценивать погрешности аппроксимации и точности приближенных решений;
5.	 делать правильные выводы из сопоставления результатов аналитической теории и численного эксперимента;
6.	 производить численные оценки по порядку величины;
7.	 делать качественные выводы при переходе к предельным условиям в изучаемых проблемах;
8.	 пользоваться справочной литературой научного и прикладного характера для быстрого поиска необходимых математических и физических данных и понятий.

Владеть:
1. базовыми знаниями в области матричных вычислений и принципами их использования в профессиональной деятельности;
2.  навыками самостоятельного решения основных задач матричных вычислений;
3. навыками освоения большого объёма информации;
4. культурой постановки и моделирования физико-математических задач

4. Формат обучения: лекции и семинарские занятия проводятся с использованием меловой доски. 
5. Объем дисциплины (модуля) составляет 8 з.е., в том числе 136 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 152 академических часа  на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
5-й семестр
	
1.Линейная зависимость величин. Системы линейных уравнений.	12	4	4	8	4	
2. Вычислительный аспект умножения матриц: классическое правило	12	4	4	8	4	
3. Матрицы как обобщение понятия числа. Группа, кольцо, поле. Специальные классы матриц.	12	4	4	8	4	
4. Матрица как оператор. Ядро и образ матрицы.	12	4	4	8	4	
5. Характеристический полином матрицы и методы его вычисления.	12	4	4	8	4	
6. Циркулянтные и теплицевы матрицы.	12	4	4	8	4	
7. Метрическое пространство. Нормированное пространство. Векторные и матричные нормы.	12	4	4	8	4	
8. Скалярное произведение. Ортогональность.	12	4	4	8	4	
9. Нормальные матрицы. Сингулярное разложение матрицы.	10	4	4	8	4	
Промежуточная аттестация: экзамен	36	0	0	0	36	
Всего в 5 семестре (4 зач. ед.)	144	36	36	72	72	

6-й семестр
	
Малые возмущения. Число обусловленности матрицы. Сходящиеся матрицы и ряды.	16	4	4	8	5	
Возмущение собственных значений.	12	4	4	8	5	
Спектральные расстояния.	12	4	4	8	6	
Машинные числа. Аксиомы машинной арифметики. Ошибки округления.	12	4	4	8	6	
Прямые методы для линейных систем. Теория LU-разложения.	16	4	4	8	6	
QR-разложение матрицы. Матрицы отражения.	12	4	4	8	5	
Неотрицательные матрицы. Матрицы и графы.	12	4	4	8	6	
Подход В.В.Воеводина к решению проблемы портабельности программного обеспечения.	12	4	4	8	5	
Аттестация: экзамен	36				36	
Всего в 6 семестре   (3 зач. ед)	144	32	32	64	80	
Итого по дисциплине	288	68	68	136	152	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

Перечень контрольных вопросов для сдачи экзамена по дисциплине в 6-ом семестре:

1. Линейная зависимость величин. Системы линейных уравнений. Матрицы как инструмент для анализа линейной зависимости. Операции над матрицами. Ассоциативность и некоммутативность умножения матриц.
2. Вычислительный аспект умножения матриц: классическое правило умножения, алгоритм Винограда, алгоритм Штрассена. Блочные матрицы. Качество алгоритмов и модели компьютеров. Последовательные и параллельные вычисления. 
3. Матрицы как обобщение понятия числа. Группа, кольцо, поле. Специальные классы матриц. Матрицы перестановки. Схема сдваивания для ассоциативной операции. Рекуррентное сдваивание.
4. Матрица как оператор. Ядро и образ матрицы. Диагонализация матрицы. Собственное значение и собственный вектор. Инвариантные подпространстсва. Теорема Жордана.
5. Характеристический полином матрицы и методы его вычисления. Параллельные алгоритмы вычисления обратной матрицы.
6. Циркулянтные и теплицевы матрицы. Групповое свойство невырожденных циркулянтных матриц. Спектральная теорема для циркулянтных матриц. Матрица Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Быстрые алгоритмы периодической и апериодической свертки.
7. Метрическое пространство. Вложенные шары. Нормированное пространство. Векторные и матричные нормы. Эквивалентные нормы. Операторные нормы. 
8. Скалярное произведение. Ортогональность. Длина вектора. Изометричные матрицы. Сохранение длин и унитарные матрицы. Теорема Шура.
9. Нормальные матрицы. Знакоопределенные матрицы. Сингулярное разложение матрицы. Унитарно инвариантные нормы. Аппроксимации меньшего ранга.
10. Малые возмущения. Число обусловленности матрицы. Сходящиеся матрицы и ряды. Простейший итерационный метод. Обратные матрицы и ряды. Обусловленность линейной системы. Согласованность матрицы и правой части.
11. Возмущение собственных значений. Непрерывность корней полинома. Круги Гершгорина. Малые возмущения собственных значений и векторов. Обусловленность простого собственного значения.
12.Спектральные расстояния. Теорема Виландта-Хоффмана. Двоякостохастические матрицы и теорема Биркгоффа. Перестановочные диагонали и теорема Холла.
13. Машинные числа. Аксиомы машинной арифметики. Ошибки округления для скалярного произведения. Прямой и обратный анализ. Проблемы сертификации алгоритмов. "Идеальные" и "машинные" тесты. Решение треугольных систем.
14. Прямые методы для линейных систем. Теория LU-разложения. Ошибки округления для $LU$-разложения. Рост элементов и выбор ведущего элемента. Метод Холецкого. Треугольные разложения и решение систем. Как уточнить решение.
15. QR-разложение матрицы. Матрицы отражения. Исключение элементов с помощью отражений. Матрицы вращения. Исключение элементов с помощью вращений. Машинные реализации отражений и вращений. Метод ортогонализации. Потеря ортогональности. Как бороться с потерей ортогональности. Модифицированный алгоритм Грама-Шмидта.
16. Неотрицательные матрицы. Матрицы и графы. Разложимость. Теорема Перрона-Фробениуса. Методы для разреженных матриц. Задача о сепараторе.
17. Подход В.В.Воеводина к решению проблемы портабельности программного обеспечения. Программа и математический алгоритм. Граф алгоритма. Граф вычислительной системы. Проблемы построения и анализа графов. Проблемы отображения алгоритмов на вычислительные системы.
ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Зачет, экзамен
	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Зачет, экзамен 
	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Экзамен, экзамен	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	
					
Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)
	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
1. проблемы сертификации алгоритмов;
2. понятия о последовательных и параллельных вычислениях;
3. параллельные алгоритмы вычисления обратной матрицы;
Уметь:
1. абстрагироваться от несущественных влияний при моделировании реальных физических ситуаций;
2. оценивать погрешности аппроксимации и точности приближенных решений;
3. делать правильные выводы из сопоставления результатов аналитической теории и численного эксперимента;
Владеть:
1. навыками освоения большого объёма информации;	ОПК-1.Б Способность применять и адаптиро-вать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики.	
Знать:
1. аксиомы машинной арифметики;
2. подход В.В.Воеводина к решению проблемы портабельности программного обеспечения.       
Уметь:
1. производить численные оценки по порядку величины;
2. делать качественные выводы при переходе к предельным условиям в изучаемых проблемах;
3.пользоваться справочной литературой научного и прикладного характера для быстрого поиска необходимых математических и физических данных и понятий.
Владеть:  
1. культурой постановки и моделирования физико-математических задач
	ПК-2.Б Способность понимать и применять в научно-исследовательской деятельности современный математический аппарат.
	
Знать 
1. свойства матриц различных типов;
2. свойства операций над матрицами;
3. вычислительные аспекты операций над матрицами;
4. методы разложения матриц;
5. итерационные методы вычисления матриц;
Уметь
1. применять численные методы к вычислению матриц различного типа;
 2. вычислять характеристический полином матрицы;
Владеть:  
1. базовыми знаниями в области матричных вычислений и принципами их использования в профессиональной деятельности;
2.  навыками самостоятельного решения основных задач матричных вычислений;
	СПК-МВ-1.Б. Способность понимать, применять и адаптировать основные методы и модели матричных вычислений. 	

8. Ресурсное обеспечение:

Основная литература.

1.	Тыртышников Е.Е.  Матричный анализ и линейная алгебра. М.: Физматлит, 2007, 480 с.
2.	Тыртышников Е.Е.  Методы численного анализа. -- М.: Издательский центр «Академия», 2007, 320 с.
Дополнительная литература.
3.	 В.В.Воеводин, Вычислительные основы линейной алгебры. Наука, 1977.
4.	 В.В.Воеводин, Е.Е.Тыртышников, Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. Наука, 1987.
5.	 Дж.Форсайт, М.Малькольм, К.Моулер, Машинные методы математических вычислений. Мир, 1980.

Электронные ресурсы, включая доступ к базам данных  и . т.д.
Информационные ресурсы:  доступные через Internet  электронные конспекты лекций, учебные пособия и сборники задач, разработанные для данного курса.

Материально-техническкое обеспечение:  аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания:	русский.

10. Преподаватели:		профессор факультета ВМК МГУ акад. Е.Е.Тыртышников 
				доцент факультета ВМК МГУ Н.Л.Замарашкин 
				ассистент факультета ВМК МГУ Лебедева О.С..

11. Автор программы:  	профессор факультета ВМК МГУ акад. Е.Е.Тыртышников