Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Матрицы, тензоры, вычисления
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические и компьютерные методы решения задач естествознания
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к вариативной части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по дисциплинам, соответствующем программе первого и второго и третьего годов обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	СПК- МТВ-1.Б Способность понимать и применять в различных вычислительных задачах методы малопараметрического представления многомерных данных и тензорные разложения. 

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать:
1. свойства матричных разложений;
2. вычислительные методы аппроксимации малоранговых матриц;
3. вычислительные аспекты операций с матричными разложениями;
4. методы разложения многомерных массивов (разложения Такера, каноническое разложние, ТТ-формат);
5. свойства тензорных рангов;
6. операции с тензорами в различных форматах;
7. методы аппроксимации и интерполяции тензоров;
8. методы решения задач линейной алгебры в формате тензорных разложений;
9. свойства итерационных методов в тензорных форматах;
10. понятия о последовательных и параллельных вычислениях с данными в тензорных форматах.       

Уметь:
1. вычислять таккеровские и ТТ-ранги тензоров;
2. строить малоранговые аппроксимации заданных матричных и тензорных разложений;
3. оценивать погрешности аппроксимации и точности приближенных решений;
4. применять численные методы к вычислению матричных и тензорных разложений;

Владеть:
1. базовыми знаниями в области матричных и тензорных вычислений и принципами их использования в профессиональной деятельности;
2. навыками самостоятельного решения основных задач матричных и тензорных вычислений;

4. Формат обучения: лекции и семинарские занятия проводятся с использованием меловой доски.
5. Объем дисциплины (модуля) составляет 3 з.е., в том числе 52 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 56 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
Малопараметрические представления матриц 	12	4	4	8	4	
Вычислительные аспекты операций с матрицами в малоранговых представлениях. 	6	2	2	4	2	
Многомерные массивы. Тензорные разложения. Тензорные ранги	6	2	2	4	2	
Разложение Таккера 	6	2	2	4	2	
Разложения тензоров с большим числом измерений	6	2	2	4	2	
ТТ-разложение 	6	2	2	4	2	
Интерполяция тензоров	6	2	2	4	2	
Каноническое разложение тензоров, канонический ранг	6	2	2	4	2	
Методы вычисления канонического разложения 	6	2	2	4	2	
Связи между различными тензорными разложениями	6	2	2	4	2	
Решение задач линейной алгебры с тензорами 	12	4	4	8	4	
Экзамен	30				30	
Итого по дисциплине	108	26	26	52	56	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)
Контрольно-измерительные материалы
Перечень контрольных вопросов для сдачи экзаменов по дисциплине:

1.	Малопараметрические представления матриц. Ранг матрицы. Сингулярное разложение, скелетное разложения, методы малоранговой аппроксимации матриц, оценки точности аппроксимаций, интерполяция малоранговых матриц по маломц числу элементов (крестовый алгоритм), блочные матрицы, малоранговые представления векторов и матриц на основе Кронекеровского произведения.
2.	Вычислительные аспекты умножения малоранговых матриц, и других операций с ними, оценки числа операций и числа параметров для хранения результата, переаппроксимации векторов и матриц. Последовательные и параллельные вычисления.
3.	Многомерные массивы, линейное пространство тензоров, матрицы ассоциированные с тензорами, матрицы развёртки, матрицы срезки, операции над тензорами, каноническое тензорное разложение, канонический ранг тензора, разложение Таккера, Таккеровские ранги, ТТ-разложение, ТТ-ранги, простые оценки для тензорных рангах, связи между различными тензорными рангами.
4.	Разложение Таккера, Операции с тензорами в формате Таккера, методы аппроксимации тензора в формате Таккера, переаппроксимации, оценки погрешности
5.	Разложения тензоров с большим числом измерений, разложения Tucker Tree, Hierarchical Tucker, Tensor Train, Quantix Tensor Train
6.	ТТ-разложение, Операции с тензорами в ТТ-формате, методы аппроксимации тензора в ТТ-формате, переаппроксимации, оценки погрешности, методы переменных направлений для операций с тензорами в ТТ-формате
7.	Методы интерполяции тензоров: Крестовые методы интерполяции в формате Таккера, в ТТ формате. Параллельные алгоритмы
8.	Каноническое (трилинейное) разложение и канонический ранг, скелетоны, алгоритм Штрассена, зависимость ранга от поля, оценки для ранга, типичные и главные ранги, теорема Крускала
9.	Методы вычисления канонического разложения, неустойчивость канонического ранга, метод вычисления канонического разложения методами алгебраической геометрии, минимизационные методы, матричные методы
10.	Перевод из одного тензорного формата в другой, операции с тензорами в различных форматах
11.	Методы решения систем линейных уравнений, спектральных задач, задач дискретной оптимизации в формате тензорных разложений, dmrg-методы, вычисление многомерных интегралов с помощью тензорных разложений, последовательные и параллельные алгоритмы

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Экзамен	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
зачет
	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Зачет, экзамен	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)
	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
Знать:
- свойства матричных разложений;
- вычислительные методы аппроксимации малоранговых матриц;
- вычислительные аспекты операций с матричными разложениями;
- методы разложения многомерных массивов (разложения Такера, каноническое разложние, ТТ-формат);
- свойства тензорных рангов;
- операции с тензорами в различных форматах;
- методы аппроксимации и интерполяции тензоров;
- методы решения задач линейной алгебры в формате тензорных разложений;
- свойста итерационных методов в тензорных форматах;
- понятия о последовательных и параллельных вычислениях с данными в тензорных форматах.  

Уметь:
- вычислять таккеровские и ТТ-ранги тензоров;
- строить малоранговые аппроксимации заданных матричных и тензорных разложений;
- оценивать погрешности аппроксимации и точности приближенных решений;
- применять численные методы к вычислению матричных и тензорных разложений;

Владеть:
- базовыми знаниями в области матричных и тензорных вычислений и принципами их использования в профессиональной деятельности;
- навыками самостоятельного решения основных задач матричных и тензорных вычислений;
	СПК- МТВ-1.Б
 Способность понимать и применять в различных вычислительных задачах методы малопараметрического представления многомерных данных и тензорные разложения.	

8. Ресурсное обеспечение:
Основная литература
1.Тыртышников Е.Е.  Матричный анализ и линейная алгебра. М.: Физматлит, 2007, 480 с.
2.Тыртышников Е.Е.  Методы численного анализа. -- М.: Издательский
центр «Академия», 2007, 320 с.
	Дополнительная литература.
1. В.В.Воеводин, Вычислительные основы линейной алгебры. Наука, 1977.
2. Дж.Форсайт, М.Малькольм, К.Моулер, Машинные методы математических вычислений. Мир, 1980.

9. Язык преподавания - русский.

10. Преподаватели:	профессор факультета ВМК МГУ акад. Е.Е.Тыртышников 
			доцент факультета ВМК МГУ Н.Л.Замарашкин
			асс. факультета ВМК О.С.Лебедева

11. Автор программы: профессор факультета ВМК МГУ акад. Е.Е.Тыртышников